📐 Mathématiques
👨🏫 Prof : SOUNI MOHAMED
📍 Khenifra – Hay El Fath
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Soit \(a\) un nombre complexe différent de \(-i\) et \(i\).
1-a) Vérifier que \(u=a+i\) est une solution de l'équation \((E)\) :
b) Déterminer l'autre solution \(v\) de l'équation \((E)\).
2) On suppose que \(|a|=1\).
a) Montrer que :
b) Vérifier que :
c) Déduire que :
Le plan \((P)\) est muni d'un repère orthonormé direct \((O,\vec e_1,\vec e_2)\).
On considère l'application \(r\) qui à tout point \(M(z)\) fait associer le point \(M_1(z_1)\) tel que :
et l'application \(h\) qui associe à \(M(z)\) le point \(M_2(z_2)\) tel que :
1) Déterminer la nature de \(r\) et \(h\), en déterminant leurs éléments caractéristiques.
2) On considère les points \(\Omega(i)\) et \(A(a)\), où \(a\) est un nombre complexe différent de \(i\).
On pose :
avec \(F=h\circ r\).
a) Montrer que si \(M'(z')\) est l'image de \(M(z)\) par \(F\), alors :
b) Vérifier que \(\Omega\) est l'unique point vérifiant \(F(\Omega)=\Omega\).
3-a) Déterminer en fonction de \(a\) les nombres \(d,c,b\), affixes des points \(D,C,B\).
b) Montrer que les points \(D,A,\Omega\) sont alignés.
c) Montrer que \(\Omega\) est le barycentre des points \((D,1),(C,2),(B,4)\).
d) Déterminer l'ensemble des points \(A(a)\) pour que \(D\) appartienne à l'axe des réels.
Soit \(a\) un complexe non nul ; \(\overline a\) le conjugué de \(a\).
1) On considère dans \(\mathbb C\) l'équation :
a) Vérifier que le discriminant de \((E)\) s'écrit :
b) Résoudre dans \(\mathbb C\) l'équation \((E)\).
2) Montrer que :
Le plan \((P)\) est muni d'un repère orthonormé direct \((O,\vec e_1,\vec e_2)\).
On suppose que :
On considère les points \(C,B,A\) d'affixes :
1) On pose :
a) Vérifier que :
b) Montrer que :
2) On suppose que :
Soient \(R_1\) la rotation de centre \(A\) et d'angle \(-\frac{\pi}{2}\), et \(R_2\) la rotation de centre \(A\) et d'angle \(\frac{\pi}{2}\).
On pose \(B'=R_1(B)\) et \(C'=R_2(C)\), et \(E\) est le milieu de \([BC]\).
a) Déterminer \(c'\) et \(b'\), affixes des points \(C'\) et \(B'\).
b) Montrer que \((AE)\) et \((B'C')\) sont perpendiculaires et que :
\(m\) est un nombre complexe différent de \(1\).
On considère dans \(\mathbb C\) l'équation :
1-a) Vérifier que le discriminant de \((E)\) s'écrit :
b) Résoudre dans \(\mathbb C\) l'équation \((E)\).
c) Déterminer \(m\) sous forme algébrique pour que le produit des solutions soit égal à \(1\).
2) On pose :
et on suppose que :
Écrire \(z_2\) et \(z_1\) sous forme trigonométrique.
Le plan \((P)\) est muni d'un repère orthonormé direct \((O,\vec u,\vec v)\).
On considère les points \(M_2,M_1,M\) d'affixes :
1) Déterminer l'ensemble des points \(M\) pour que \(M_2,M_1,M\) soient alignés.
2-a) Montrer que l'application qui associe à \(M(z)\) le point \(M'\) d'affixe
est une rotation dont on déterminera l'affixe de son centre \(\Omega\) et une mesure de son angle.
b) Montrer que :
c) Déduire l'ensemble des points \(M\) pour que \(M_2,M_1,M,\Omega\) soient cocycliques.