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📚 Devoir 3 : Semestre 1

2ème Bac Sciences Mathématiques
📐 Mathématiques
👨‍🏫 Prof : SOUNI MOHAMED
📍 Khenifra – Hay El Fath
📞 Tel / WhatsApp : 06.76.43.35.51
🌐 www.sounimath.com

Exercice 1 ⭐ ⭐ avec solution

Partie A :

On considère la fonction :

\[ g(x)=\ln x-\frac{x^2-1}{2x} \]

1) Montrer que :

\[ \forall x\in\mathbb{R}^{+},\qquad 0\leq \ln(1+x)-x+\frac{x^2}{2} \leq \frac{x^3}{3} \]

2-a) Calculer :

\[ \lim_{x\to0^+}g(x) \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}g(x) \]

b) Étudier le sens de variations de \(g\) et déduire le signe de \(g(x)\), pour tout \(x\in]0,+\infty[\).

Partie B :

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}^{*+}\) par :

\[ f(x)= \begin{cases} \dfrac{x+1}{2(x-1)}\ln x & \text{si }x\neq1,\\[6pt] 1 & \text{si }x=1. \end{cases} \]

1) Calculer les limites :

\[ \lim_{x\to0^+}f(x) \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x) \]

puis étudier les deux branches infinies de \((C_f)\).

2) Montrer que \(f\) est continue en \(1\).

3-a) Montrer que :

\[ \lim_{x\to0^+} \frac{ \ln(1+x)-\dfrac{2x}{x+2} }{x^2} =0 \]

b) Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite de \(1\).

c) Montrer que :

\[ \forall x\in\mathbb{R}^{+*}\setminus\{1\}, \qquad \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \frac{-1}{x} \times \frac{ f\left(\frac{1}{x}\right)-1 }{ \frac{1}{x}-1 } \]

d) Montrer que \(f\) est dérivable en \(1\).

4) Montrer que :

\[ \forall x\in\mathbb{R}^{+*}\setminus\{1\}, \qquad f'(x)=\frac{-g(x)}{(x-1)^2} \]

puis dresser le tableau de variation de \(f\).

5) Construire la courbe \((C_f)\).

Partie C :

Soit \(n\) un entier tel que \(n\geq2\).

1) Montrer que l'équation \(f(x)=n\) admet une unique solution \(v_n\) dans \(]0,1[\).

2) Montrer que la suite \((v_n)\) est décroissante et qu'elle est convergente.

3) Montrer que :

\[ \forall n\geq2,\qquad v_n\lt\frac{1}{e^n} \]

Puis déterminer la limite de \((v_n)\).

Partie D :

On admet que l'équation

\[ x^2-\ln(x+1)=0 \]

a une seule solution non nulle \(\alpha\) dans \(]\frac12,1[\).

1) Montrer que :

\[ \forall x\in]0,\alpha[,\qquad x^2+x-\ln(x+1)\lt x \]

2) On considère la suite \((u_n)\) définie par :

\[ u_{n+1} = u_n^2+u_n-\ln(u_n+1), \qquad u_0=\frac1e \]

1) Montrer que :

\[ \forall x\in]0,\alpha[,\qquad x^2+x-\ln(x+1)\mathrel{\lt}x \]

b) Montrer que la suite \((u_n)\) est convergente et déterminer sa limite.

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Solution de l'Exercice 1

Exercice 2 ⭐ avec solution

Soit \(n\in\mathbb{N}^{*}\). On considère la fonction définie sur \(I=]0,+\infty[\) par :

\[ f(x)=x^n e^{-x} \]

a) Calculer \(f'(x)\), pour \(x\in I\), puis donner le tableau de variation de \(f\).

b) Déduire que :

\[ \forall x\in]0,+\infty[, \qquad e^x\gt\left(\frac{x}{n}\right)^n \]

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Solution de l'Exercice 2