📚 Série 7-T : Partie 2
Les nombres complexes
2ème Bac Sciences Mathématiques
📐 Les nombres complexes
👨🏫 Prof : SOUNI MOHAMED
📍 N°158 BD Mohamed V – Khenifra
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Exercice 1
⭐
avec solution
Déterminer les ensembles :
\[
E_1=
\left\{
M(z)\ /\
\left|
\frac{z-1}{1+iz}
\right|
=
\sqrt{2}
\right\}
\]
\[
E_2=
\left\{
M(z)\ /\
\arg(z+i)
\equiv
\arg(1+i)
\ [2\pi]
\right\}
\]
Exercice 2
⭐
avec solution
Soit \(z\in\mathbb{C}\setminus\{2\}\).
Montrer que :
\[
|z|=1
\quad\Longleftrightarrow\quad
\operatorname{Re}
\left(
\frac{1}{1-z}
\right)
=
\frac{1}{2}
\]
Exercice 3
⭐
avec solution
Soit \(t,z\in\mathbb{C}\) avec :
\[
|t|=|z|=1
\]
Montrer que :
\[
\frac{(z+t)^2}{zt}\in\mathbb{R}^{+}
\]
Exercice 4
⭐⭐
avec solution
On pose :
\[
z=re^{i\theta},
\qquad
r\in\mathbb{R}^{+*},
\qquad
\theta\in[0,2\pi]
\]
Déterminer suivant \(\theta\), l'écriture exponentielle du nombre :
\[
Z=
z-
\left(
\cos\frac{\pi}{3}
+i\sin\frac{\pi}{3}
\right)\overline z
\]
Exercice 5
⭐⭐⭐
avec solution
On considère dans \(\mathbb{C}\) l'équation :
\[
(E):
\quad
z^2-(1+\sqrt3)(1+i)z+4i=0
\]
1-a) Vérifier que :
\[
\Delta=
\left[
(\sqrt3-1)(1-i)
\right]^2
\]
b) Écrire les solutions de \((E)\)
sous forme trigonométrique.
2) On considère les deux points :
\[
A(1+i\sqrt3),
\qquad
B(\sqrt3+i)
\]
On pose :
\[
a=1+i\sqrt3,
\qquad
b=\sqrt3+i
\]
a) Montrer que l'ensemble :
\[
D=
\left\{
M(z)\ /\
z=\frac12a\overline z
\right\}
\]
est une droite qui passe par le point \(B\).
b) Soient \(M(z)\) et \(M'(z')\) deux points tels que :
\[
z'=a\overline z-b,
\qquad z\neq b
\]
Montrer que :
\[
\frac{b^2}
{(z'-b)(z-b)}
=
\frac{2}{|z-b|^2}
\]
c) En déduire que \(D\) est la bissectrice
de l'angle \((\overrightarrow{BM},\overrightarrow{BM'})\).
Exercice 6
⭐⭐
avec solution
1) Résoudre l'équation :
\[
z^2-(2+6i)z-4+6i=0
\]
2) On pose :
\[
u=1+5i,
\qquad
v=1+i,
\qquad
w=239-i
\]
\[
\alpha=\arctan\frac15,
\qquad
\beta=\arctan\frac1{239}
\]
a) Vérifier que :
\[
u^4\cdot v=4w
\]
b) Déterminer \(\arg u\) en fonction de
\(\alpha\) et \(\arg w\) en fonction de \(\beta\).
d) En déduire que :
\[
4\arctan\frac15
-
\arctan\frac1{239}
=
\frac{\pi}{4}
\]
Exercice 7
⭐
avec solution
Soit :
\[
z_n=
\frac12
\left[
(1+i)^n+(1-i)^n
\right],
\qquad
n\in\mathbb{N}^{*}
\]
Montrer que :
\[
z_n=
2^{\frac n2}
\cos\left(\frac{n\pi}{4}\right)
\]
Exercice 8
⭐⭐
avec solution
Soit \(a\in\mathbb{C}^{*}\) tel que \(|a|\neq1\).
On pose :
\[
X=\frac{z-\overline a}{1-az}
\]
1) Montrer que :
\[
|X|=1
\quad\Longleftrightarrow\quad
|z|=1
\]
2) Déterminer l'ensemble :
\[
E=
\left\{
M(z)\ /\ |X|=\frac1{|a|}
\right\}
\]
Exercice 9
⭐⭐⭐
avec solution
1) Sachant que l'équation admet une solution
imaginaire pure, résoudre l'équation :
\[
z^3+(1+2i)z^2+(-1+5i)z-2i-6=0
\]
2) En déduire les solutions de l'équation :
\[
z^3+(1-2i)z^2+(-1-5i)z+2i-6=0
\]
Exercice 10
⭐
avec solution
Soient \(\vec u,\vec v\) deux vecteurs non nuls d'affixes
respectivement \(z\) et \(z'\).
Montrer que :
\[
\vec u\text{ et }\vec v
\text{ sont colinéaires}
\quad\Longleftrightarrow\quad
z\overline{z'}\in\mathbb{R}^{*}
\]
\[
\vec u\perp\vec v
\quad\Longleftrightarrow\quad
z\overline{z'}\in i\mathbb{R}^{*}
\]
Exercice 11
⭐⭐⭐
avec solution
On considère les points :
\[
A(-2i),
\qquad
B(-1+i\sqrt3),
\qquad
C(\sqrt3+i)
\]
a) Vérifier que \(\theta\), l'origine du repère,
est le centre du cercle circonscrit du triangle \(ABC\).
b) Déterminer \(g\), l'affixe du point \(G\),
centre de gravité de \(ABC\).
2) Soit \(H\) le point d'affixe :
\[
h=(\sqrt3-1)(1+i)
\]
a) Calculer :
\[
\arg\left(\frac{c-b}{h-a}\right)
\qquad\text{et}\qquad
\arg\left(\frac{c-a}{h-b}\right)
\]
En déduire que \(H\) est orthocentre du triangle \(ABC\).
3) Montrer que les points
\(\theta,G,H\) sont alignés.
Exercice 12
⭐⭐⭐
avec solution
Soit \(z\in\mathbb{C}\setminus\{i\}\).
On pose :
\[
h(z)=i\left(\frac{z-2i}{z-i}\right)
\]
1-a) Vérifier que :
\[
h(z)=z
\quad\Longleftrightarrow\quad
z^2-2iz-2=0
\]
b) En déduire les points fixes de \(h\).
On les note \(a\) et \(b\) avec :
\[
\operatorname{Re}(a)=1
\]
2) On considère les points
\(A(a),B(b),M(z),M'(h(z))\).
a) Montrer que :
\[
\frac{h(z)-a}{h(z)-b}
=
-\frac{z-a}{z-b}
\]
b) En déduire que :
\[
\left(
\overline{M'B,M'A}
\right)
\equiv
\pi+
\left(
\overline{MB,MA}
\right)
\ [2\pi]
\]
3-a) Montrer que si \(M,A,B\) sont alignés alors
\(M,A,B,M'\) sont alignés.
b) Montrer que si \(M,A,B\) ne sont pas alignés
alors les points \(M,A,B,M'\) sont cocycliques.
