📚 Intégration
2ème Bac Sciences Mathématiques
📐 Mathématiques – Intégration
👨🏫 Prof : SOUNI MOHAMED
📍 Khenifra
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Exercice 1 – Intégration
⭐⭐
avec solution
Calculer les intégrales suivantes :
\(I_1\)
\[
I_1=
\int_0^\pi \sin(x^3)\,dx
\]
\(I_2\)
\[
I_2=
\int_0^{\ln 2}
e^x\sqrt{1+e^x}\,dx
\]
\(I_3\)
\[
I_3=
\int_{\pi_3}^{\frac{\pi}{6}}
\tan x\,dx
\]
\(I_5\)
\[
I_5=
\int_{e^3}^{e^4}
\frac{1}{t\ln t}\,dt
\]
\(I_6\)
\[
I_6=
\int_{\frac32}^{2}
\frac{1}{x^2(1-x^2)}\,dx
\]
\(I_7\)
\[
I_7=
\int_2^3
\frac{x^3-2}{x^3-x^2}\,dx
\]
\(I_8\)
\[
I_8=
\int_1^{e^\pi}
\frac{\cos(\ln x)}{x}\,dx
\]
\(I_9\)
\[
I_9=
\sqrt{2}
\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}
\cos x\sqrt{1-\cos 2x}\,dx
\]
Exercice 2 – Intégration par parties
⭐⭐⭐
avec solution
Calculer en intégrant par parties :
\(J_1\)
\[
J_1=
\int_0^1
(2x+1)e^{-x}\,dx
\]
\(J_2\)
\[
J_2=
\int_0^{\frac{\pi}{2}}
x\cos^2x\,dx
\]
\(J_3\)
\[
J_3=
\int_0^1
\arctan x\,dx
\]
\(J_4\)
\[
J_4=
\int_1^2
\frac{e^{1/x}}{x^3}\,dx
\]
\(J_5\)
\[
J_5=
\int_0^2
\frac{\ln(1+x)}{\sqrt{1+x}}\,dx
\]
\(J_6\)
\[
J_6=
\int_0^{\frac{\pi}{4}}
\frac{x\tan^2x}{\cos^2x}\,dx
\]
\(J_7\)
\[
J_7=
\int_{\frac12}^{1}
\frac{x}{\sqrt{1+2x}}\,dx
\]
\(J_8\)
\[
J_8=
\int_0^{\frac{\pi}{8}}
e^{-2t}\cos 2t\,dt
\]
📖 Corrigé ▼
Solution de l'Exercice 2 – Intégration par parties
Exercice 3 – Changement de variable
⭐⭐⭐
avec solution
Calculer en intégrant par changement de variable :
\(K_1\) avec
\[
t=\sqrt{e^x}.
\]
\[
K_1=
\int_0^{\ln 4}
x\sqrt{e^{-2}}\,dx
\]
\(K_2\) avec
\[
t=\sqrt{x+1}.
\]
\[
K_2=
\int_0^7
x\sqrt[5]{x+1}\,dx
\]
\(K_3\) avec
\[
t=\tan x.
\]
\[
K_3=
\int_1^{\sqrt3}
\frac{dt}{1+t^2}
\]
\(K_4\) avec
\[
t=\cos 2x.
\]
\[
K_4=
\int_0^{\frac{\pi}{6}}
\frac{\sin x}
{\cos 2x\sqrt{\cos 2x}}
\,dx
\]
\(K_5\) avec
\[
x=t+\frac{1}{t}.
\]
\[
K_5=
\int_{\sqrt2}^{\sqrt{15}}
\frac{1-t^2}
{(1+t^2)\sqrt{1+t^4}}
\,dt
\]
\(K_6\) avec
\[
t=\frac{1}{x}.
\]
\[
K_6=
\int_1^{\sqrt3}
\frac{dx}
{x^2\sqrt{4-x^2}}
\]
📖 Corrigé ▼
Solution de l'Exercice 3 – Changement de variable
Exercice 1 – Intégration
⭐⭐
avec solution
Soit \(F\) la fonction définie sur \(]0,+\infty[\) par :
\[
F(x)=
\int_x^{x^2}
\frac{e^{-t^2}}{t}\,dt
\]
1) Montrer que \(F\) est dérivable sur
\(]0,+\infty[\), puis calculer \(F'(x)\) pour tout
\(x\in]0,+\infty[\).
2) On considère la fonction \(f\) définie sur
\(]0,+\infty[\) par :
\[
f(t)=
\frac{t-1}{t\ln t}
\qquad\text{si }t\neq1,
\qquad
f(1)=1
\]
a) Montrer que \(f\) est continue sur
\(]0,+\infty[\).
b) Calculer :
\[
\lim_{x\to1}
\int_x^{x^2}f(t)\,dt
\]
c) En déduire la valeur de la limite :
\[
\lim_{x\to1}
\int_x^{x^2}
\frac{dt}{\ln t}
\]
Exercice 2 – Intégration
⭐⭐⭐
avec solution
On pose pour tout \(n\in\mathbb{N}\) :
\[
I_n=
\int_0^1x^ne^{-x}\,dx
\]
1) Calculer \(I_0\) et \(I_1\).
2) Trouver une relation récurrente entre
\(I_n\) et \(I_{n+1}\).
3) Montrer que pour tout entier
\(n\in\mathbb{N}\) :
\[
\frac{1}{e(n+1)}
\leq
I_n
\leq
\frac{1}{n+1}
\]
4) On définit une suite \((u_n)\)
en posant, pour tout entier \(n\) :
\[
I_n=
\frac{n!}{e}(e-u_n)
\]
a) Trouver une relation récurrente entre
\(u_n\) et \(u_{n+1}\).
b) Calculer \(u_0\), puis en déduire
l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).
