Intégration par parties – Exercices corrigés
En utilisant une intégration par parties,
calculer les intégrales suivantes.
Exercice 1 ⭐⭐ avec solution
En utilisant une intégration par parties, calculer les intégrales suivantes :
\[
\begin{aligned}
A&=\int_1^5 x\ln(x)\,dx
&
B&=\int_0^1 x\sqrt{x+1}\,dx
\\[8pt]
C&=\int_3^2
\ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right)\,dx
&
D&=\int_0^1\ln(2x+1)\,dx
\\[8pt]
E&=\int_0^1 e^x\,dx
&
G&=\int_1^e x(\ln x)^2\,dx
\\[8pt]
H&=\int_0^\pi x^2\sin(3x)\,dx
\end{aligned}
\]
Solution détaillée :
1. Calcul de \(A\)
\[ A=\int_1^5 x\ln(x)\,dx \] On pose : \[ u=\ln(x) \qquad dv=x\,dx \] Donc : \[ du=\frac{1}{x}dx \qquad v=\frac{x^2}{2} \] Par intégration par parties : \[ A= \left[\frac{x^2}{2}\ln(x)\right]_1^5 - \frac12\int_1^5x\,dx \] \[ A= \frac{25}{2}\ln(5) - \frac12 \left[\frac{x^2}{2}\right]_1^5 \] \[ \boxed{ A=\frac{25}{2}\ln(5)-6 } \]2. Calcul de \(B\)
\[ B=\int_0^1x\sqrt{x+1}\,dx \] On pose : \[ u=x \qquad dv=\sqrt{x+1}\,dx \] Donc : \[ du=dx \] et \[ v=\frac23(x+1)^{3/2} \] Ainsi : \[ B= \left[ \frac23x(x+1)^{3/2} \right]_0^1 - \frac23 \int_0^1(x+1)^{3/2}dx \] \[ B= \frac43\sqrt2 - \frac23 \left[ \frac25(x+1)^{5/2} \right]_0^1 \] \[ \boxed{ B=\frac{4(\sqrt2+1)}{15} } \]3. Calcul de \(C\)
\[ C= \int_3^2 \ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right)dx \] On écrit : \[ \ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right) = \ln(x-1)-\ln(x+1) \] Une primitive est : \[ (x-1)\ln(x-1) -(x+1)\ln(x+1)+2 \] Donc : \[ C= \left[ (x-1)\ln(x-1) -(x+1)\ln(x+1)+2 \right]_3^2 \] Après calcul : \[ \boxed{ C=\ln\left(\frac{64}{27}\right) } \]4. Calcul de \(D\)
\[ D=\int_0^1\ln(2x+1)\,dx \] On pose : \[ u=\ln(2x+1) \qquad dv=dx \] Alors : \[ du=\frac{2}{2x+1}dx \qquad v=x \] Donc : \[ D= \left[x\ln(2x+1)\right]_0^1 - 2\int_0^1 \frac{x}{2x+1}dx \] Finalement : \[ \boxed{ D=\frac32\ln(3)-1 } \]5. Calcul de \(E\)
\[ E=\int_0^1e^x\,dx \] Une primitive de \(e^x\) est \(e^x\). Donc : \[ E= [e^x]_0^1 \] \[ \boxed{ E=e-1 } \]6. Calcul de \(G\)
\[ G=\int_1^e x(\ln x)^2dx \] On pose : \[ u=(\ln x)^2 \qquad dv=x\,dx \] Alors : \[ du= \frac{2\ln x}{x}dx \qquad v=\frac{x^2}{2} \] Par intégration par parties : \[ G= \left[ \frac{x^2}{2}(\ln x)^2 \right]_1^e - \int_1^e x\ln x\,dx \] Or : \[ \int_1^e x\ln x\,dx = \left[ \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} \right]_1^e \] On obtient : \[ \boxed{ G=\frac{e^2-1}{4} } \]7. Calcul de \(H\)
\[ H= \int_0^\pi x^2\sin(3x)\,dx \] Première intégration par parties : \[ u=x^2 \qquad dv=\sin(3x)dx \] Donc : \[ du=2x\,dx \qquad v=-\frac13\cos(3x) \] Ainsi : \[ H= \left[ -\frac{x^2}{3}\cos(3x) \right]_0^\pi + \frac23 \int_0^\pi x\cos(3x)dx \] Pour la deuxième intégrale : \[ u=x \qquad dv=\cos(3x)dx \] Donc : \[ du=dx \qquad v=\frac13\sin(3x) \] Finalement : \[ \boxed{ H=\frac{\pi^2}{3}-\frac4{27} } \]
A=\int_1^5 x\ln(x)\,dx
B=\int_0^1 x\sqrt{x+1}\,dx
C=\int_3^2
\ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right)\,dx
D=\int_0^1\ln(2x+1)\,dx
E=\int_0^1e^x\,dx
G=\int_1^e x(\ln x)^2\,dx
H=\int_0^\pi x^2\sin(3x)\,dx