Exercice 1
avec solution
avec solution
-
En utilisant une intégration par parties, calculer les intégrales suivantes :
$$
\begin{array}{lll}
A=\int_1^5 x \ln (x) d x & B=\int_0^1 x \sqrt{x+1} d x \\
D=\int_0^1 \ln (2 x+1) d x & E=\int_0^1 e^x d x & \int_3^2 \ln \left(\frac{x-1}{x+1}\right) d x \\
G=\int_1^e x(\ln (x))^2 d x & H=\int_0^\pi x^2 \sin (3 x) d x &
\end{array}
$$
-
-
\begin{aligned}
& B=\int_0^1 x \sqrt{(x+1)} d x \quad \text { sepla } \\
& \text { on pose : \quad } L=x \quad L^{\prime}=1 \\
& v^{\prime}=(x+1)^{\frac{1}{2}} \quad V=\frac{2(x+1)^{\frac{3}{2}}}{3} \\
& \text { donc } \\
& B=\int_0^1 \frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}} \int_0^1-\frac{2}{3} \int_0^1(x+1)^{\frac{3}{2}} d x \\
& =\frac{2}{3} \times(2)^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3}\left[\frac{2}{5}(x+1)^{\frac{5}{2}}\right]_0^1 \\
& =\frac{2}{3} \times 2 \times \sqrt{2}-\frac{2}{3} \times \frac{2}{5} \sqrt{32}+\frac{2}{5} \times \frac{2}{3} \\
& =\frac{4 \sqrt{2}}{3}-\frac{4}{15} \times 4 \sqrt{2}+\frac{4}{15} \\
& =\frac{4 \sqrt{2}+4}{15} \\
&
\end{aligned}
-
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\begin{aligned}
& B=\int_0^1 x \sqrt{(x+1)} d x \quad \text { sepla } \\
& \text { on pose : \quad } L=x \quad L^{\prime}=1 \\
& v^{\prime}=(x+1)^{\frac{1}{2}} \quad V=\frac{2(x+1)^{\frac{3}{2}}}{3} \\
& \text { donc } \\
& B=\int_0^1 \frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}} \int_0^1-\frac{2}{3} \int_0^1(x+1)^{\frac{3}{2}} d x \\
& =\frac{2}{3} \times(2)^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3}\left[\frac{2}{5}(x+1)^{\frac{5}{2}}\right]_0^1 \\
& =\frac{2}{3} \times 2 \times \sqrt{2}-\frac{2}{3} \times \frac{2}{5} \sqrt{32}+\frac{2}{5} \times \frac{2}{3} \\
& =\frac{4 \sqrt{2}}{3}-\frac{4}{15} \times 4 \sqrt{2}+\frac{4}{15} \\
& =\frac{4 \sqrt{2}+4}{15} \\
&
\end{aligned}
Exercice 1
avec solution
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En utilisant une intégration par parties, calculer les intégrales suivantes :
$$
\begin{array}{lll}
A=\int_1^5 x \ln (x) d x & B=\int_0^1 x \sqrt{x+1} d x \\
D=\int_0^1 \ln (2 x+1) d x & E=\int_0^1 e^x d x & \int_3^2 \ln \left(\frac{x-1}{x+1}\right) d x \\
G=\int_1^e x(\ln (x))^2 d x & H=\int_0^\pi x^2 \sin (3 x) d x &
\end{array}
$$
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\begin{aligned}
& B=\int_0^1 x \sqrt{(x+1)} d x \quad \text { sepla } \\
& \text { on pose : \quad } L=x \quad L^{\prime}=1 \\
& v^{\prime}=(x+1)^{\frac{1}{2}} \quad V=\frac{2(x+1)^{\frac{3}{2}}}{3} \\
& \text { donc } \\
& B=\int_0^1 \frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}} \int_0^1-\frac{2}{3} \int_0^1(x+1)^{\frac{3}{2}} d x \\
& =\frac{2}{3} \times(2)^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3}\left[\frac{2}{5}(x+1)^{\frac{5}{2}}\right]_0^1 \\
& =\frac{2}{3} \times 2 \times \sqrt{2}-\frac{2}{3} \times \frac{2}{5} \sqrt{32}+\frac{2}{5} \times \frac{2}{3} \\
& =\frac{4 \sqrt{2}}{3}-\frac{4}{15} \times 4 \sqrt{2}+\frac{4}{15} \\
& =\frac{4 \sqrt{2}+4}{15} \\
&
\end{aligned}