Intégrales – Exercices corrigés
Exercice 1 ⭐⭐
La fonction \(h\) est définie sur \(\mathbb{R}^*\) par :
\[
h(x)=\frac{e^x-2}{e^x-1}
\]
1) Déterminer \(a\) et \(b\) réels tels que pour tout \(x\) appartenant à \(\mathbb{R}^*\) :
\[
h(x)=a+\frac{be^x}{e^x-1}
\]
2) Calculer :
\[
\int_1^2 h(x)\,dx
\]
Solution :
On a :
\[
\frac{e^x-2}{e^x-1}
=
a+\frac{be^x}{e^x-1}
\]
En mettant au même dénominateur :
\[
\frac{e^x-2}{e^x-1}
=
\frac{a(e^x-1)+be^x}{e^x-1}
\]
Donc :
\[
e^x-2
=
a(e^x-1)+be^x
\]
Ce qui donne :
\[
e^x-2=(a+b)e^x-a
\]
Par identification :
\[
\begin{cases}
a+b=1\\
-a=-2
\end{cases}
\]
Ainsi :
\[
\boxed{a=2}
\qquad
\boxed{b=-1}
\]
Donc :
\[
h(x)=2-\frac{e^x}{e^x-1}
\]
Pour calculer l'intégrale :
\[
\int_1^2h(x)\,dx
=
\int_1^2
\left(
2-\frac{e^x}{e^x-1}
\right)dx
\]
Or :
\[
\int\frac{e^x}{e^x-1}\,dx
=
\ln|e^x-1|
\]
Ainsi :
\[
\int_1^2h(x)\,dx
=
\left[
2x-\ln(e^x-1)
\right]_1^2
\]
Donc :
\[
=
2-\ln(e^2-1)+\ln(e-1)
\]
Comme :
\[
e^2-1=(e-1)(e+1)
\]
Finalement :
\[
\boxed{
\displaystyle
\int_1^2h(x)\,dx
=
2-\ln(e+1)
}
\]
\[
h(x)=\frac{e^x-2}{e^x-1}
\]
\[
h(x)=a+\frac{be^x}{e^x-1}
\]
\[
e^x-2=a(e^x-1)+be^x
\]
\[
e^x-2=(a+b)e^x-a
\]
\[
\begin{cases}
a+b=1\\
-a=-2
\end{cases}
\]
\[
\boxed{a=2,\quad b=-1}
\]
\[
h(x)=2-\frac{e^x}{e^x-1}
\]
\[
\int_1^2h(x)\,dx
=
\left[
2x-\ln(e^x-1)
\right]_1^2
\]
\[
\boxed{
\int_1^2h(x)\,dx
=
2-\ln(e+1)
}
\]