Étudier la continuité de \(f\) en \(x_0=5\), avec :
Solution :
Pour \(x\neq5\) :
Donc :
Or :
Donc \(f\) n'est pas continue en \(5\).
\[
x^2-2x-15=(x-5)(x+3)
\]
\[
x^2-25=(x-5)(x+5)
\]
\[
f(x)=\frac{x+3}{x+5}
\]
\[
\lim_{x\to5}f(x)=\frac45
\]
\[
f(5)=8
\]
\[
\boxed{\text{f n'est pas continue en }5}
\]
Étudier la continuité de \(f\) en \(x_0=3\), avec :
Solution :
On rationalise :
Donc :
Or :
Donc \(f\) est continue en \(3\).
\[
\frac{\sqrt{x}-\sqrt3}{x-3}
=
\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt3}
\]
\[
\lim_{x\to3}f(x)
=
\frac{1}{2\sqrt3}
\]
\[
f(3)=\frac{1}{2\sqrt3}
\]
\[
\boxed{\text{f est continue en }3}
\]
Étudier la continuité de \(f\) en \(x_0=2\), avec :
Solution :
Donc :
Ainsi :
Or :
Donc \(f\) n'est pas continue en \(2\).
\[
x^2-4=(x-2)(x+2)
\]
\[
\sqrt2-\sqrt{x}
=
-\frac{x-2}{\sqrt{x}+\sqrt2}
\]
\[
f(x)=-(x+2)(\sqrt{x}+\sqrt2)
\]
\[
\lim_{x\to2}f(x)=-8\sqrt2
\]
\[
f(2)=8\sqrt2
\]
\[
\boxed{\text{f n'est pas continue en }2}
\]
Étudier la continuité de la fonction \(f\) en point \(x_0=3\) :
Solution :
On cherche à factoriser le numérateur par \(x-3\).
Cependant, pour le polynôme fourni dans l'énoncé :
on obtient :
Donc \(x-3\) est bien un facteur.
Pour \(x\neq3\) :
Alors :
Et :
Donc \(f\) est continue en \(3\).
\[
x^3-x^2-x-15
=
(x-3)(x^2+2x+5)
\]
\[
f(x)=x^2+2x+5
\]
\[
\lim_{x\to3}f(x)=20
\]
\[
f(3)=20
\]
\[
\boxed{\text{f est continue en }3}
\]
Étudier la continuité de la fonction \(h\) en point \(x_0=1\) :
Solution :
Donc pour \(x\neq1\) :
Ainsi :
Or :
Donc \(h\) est continue en \(1\).
\[
x^3+x-2=(x-1)(x^2+x+2)
\]
\[
h(x)=x^2+x+2
\]
\[
\lim_{x\to1}h(x)=4
\]
\[
h(1)=4
\]
\[
\boxed{\text{h est continue en }1}
\]
Soit la fonction \(f\) définie par :
1. Donner le domaine de définition de la fonction \(f\).
2. Montrer que \(f\) est continue en \(2\).
Solution :
1. Domaine de définition :
La fonction est définie en \(2\) par \(f(2)=9\), et pour \(x\neq2\) le quotient est défini.
2. Continuité en \(2\) :
On factorise :
Donc pour \(x\neq2\) :
Ainsi :
Or :
Donc \(f\) est continue en \(2\).
\[
f(x)=
\begin{cases}
\dfrac{x^3-3x-2}{x-2},&x\neq2\\
9,&x=2
\end{cases}
\]
\[
D_f=\mathbb{R}
\]
\[
x^3-3x-2=(x-2)(x+1)^2
\]
\[
f(x)=(x+1)^2
\]
\[
\lim_{x\to2}f(x)=9
\]
\[
f(2)=9
\]
\[
\boxed{\text{f est continue en }2}
\]