Exercice
1
avec solution
avec solution
-
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^{+}$par: $f(x)=x \arctan \left(\frac{x}{\sqrt{x}+1}\right)$
- 1) étudier la dérivabilité de $f$ à droite de 0
- 2) a) calculer la limite $\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)$
- b) étudier la branche infinie de la courbe $\left(C_{f}\right)$ au voisinage de $+\infty$
- 3) a) montrer que $f$ est dérivable sur $] 0,+\infty\left[\right.$ et calculer $f^{\prime}(x)$
- b) étudier les variations de $f$ et dresser sa table de variation
- 4) montrer que $f$ est bijective de $\mathbb{R}^{*}$ vers un intervalle $I$ à déterminer
- 5) tracer dans un même repère les courbes $\left(C_{f}\right)$ et $\left(\Gamma_{J^{-1}}\right)$
Exercice
2
avec solution
avec solution
- Soit $f$ la fonction définie par : $\left\{\begin{array}{l}f(x)=\arctan \left(x\sqrt[3]{\frac{x}{x^{2}-1}}\right) \quad x^{2} \neq 1 \\ f(1)=\frac{\pi}{2} ; \quad \quad \quad \quad \quad \quad f(-1)=-\frac{\pi}{2}\end{array}\right.$
- 1) déterminer le domaine de définition $D_{f}$ puis calculer $\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)$
- 2) étudier la dérivabilité de $f$ à gauche de 0 et à droite de 1 et $-1$
- 3) Calculer $f^{\prime}(x)$ puis donner le tableau de variation de $f$
- 4) soit $g$ la restriction de la fonction $f$ sur $[-1,0]$
- a) Montrer que $g$ est une bijection de $[-1,0]$ vers un intervalle $J$ que l'on précisera
- b) exprimer $g^{-1}(x)$ pour tout $x$ de $J$
Exercice
3
avec solution
avec solution
- soit $f$ la fonction définie par: $\begin{cases}f(x)=1+\sqrt[3]{x^{3}-2 x^{2}} & ; \quad x \geq 2 \\ f(x)=\frac{2}{\pi} \arctan \left(\frac{1}{\sqrt{2-x}}\right) & ; x<2\end{cases}$
- 1) a) étudier la continuité de $f$ sur $R$
- b) étudier la dérivabilité de $f$ à gauche et à droite du point 2
- 2) calculer les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$
- 3) calculer $\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}$ puis étudier la branche infinie de $\left(C_{f}\right)$ au voisinage de $+\infty$
- 4) a) calculer la fonction dérivée sur $]-\infty, 2[$ et $] 2,+\infty[$
- b) étudier les variations de $f$ et dresser sa table de variation
- 5) soit $g$ la restriction de la fonction $f$ sur $]-\infty, 2[$
- a) Montrer que $g$ est une bijection de $]-\infty, 2[$ vers un intervalle $J$ que l'on précisera
- b) exprimer $g^{-1}(x)$ pour tout $x$ de $J$
Exercice
4
avec solution
avec solution
- Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^{+}$par: $ $\begin{cases} f(x) =\sqrt{x}\quad \quad 0 \leq x<1 \\ f(x) =a x^{2}+b x+1 \quad ; \quad \quad x \geq 1 \end{cases}$ $
- 1) déterminer la relation entre $a$ et $b$ pour que $f$ soit continue sur $\mathbb{R}^{+}$
- 2) déterminer $a$ et $b$ pour que $f$ soit dérivable sur $\mathbb{R}^{+}$