Exercices de Mathématiques avec Solutions
On rappelle que \((\mathbb{Z},+, \times)\) est un anneau commutatif, unitaire et intègre.
1- On munit \(\mathbb{Z}\) de la loi de composition interne \(*\) définie par :
\[(\forall(x, y) \in \mathbb{Z}^2) ; x * y = x + y - 2\]
a) Montrer que la loi \(*\) est commutative et associative.
b) Montrer que \((\mathbb{Z}, *)\) admet un élément neutre que l'on déterminera.
c) En déduire que \((\mathbb{Z}, *)\) est un groupe commutatif.
Solution Exercice 1
a) Commutativité et associativité :
Pour la commutativité : \(x * y = x + y - 2 = y + x - 2 = y * x\)
Pour l'associativité : \((x * y) * z = (x + y - 2) * z = x + y - 2 + z - 2 = x + y + z - 4\)
Et : \(x * (y * z) = x * (y + z - 2) = x + y + z - 2 - 2 = x + y + z - 4\)
Donc associatif.
b) Élément neutre :
Soit \(e\) l'élément neutre. On a : \(x * e = x\)
Donc \(x + e - 2 = x \Rightarrow e = 2\)
Vérification : \(x * 2 = x + 2 - 2 = x\)
L'élément neutre est 2.
c) Groupe commutatif :
On a montré la commutativité, l'associativité, l'existence d'un élément neutre.
Pour tout \(x \in \mathbb{Z}\), le symétrique \(x'\) vérifie : \(x * x' = 2\)
Donc \(x + x' - 2 = 2 \Rightarrow x' = 4 - x\)
Donc \((\mathbb{Z}, *)\) est un groupe commutatif.
Soit \(a\) un nombre complexe non nul.
Partie I : Soit dans l'ensemble \(\mathbb{C}\) l'équation \((E)\) d'inconnue \(z\) :
\[(E): 2z^2 - (3 + i\sqrt{3})az + (1 + i\sqrt{3})a^2 = 0\]
1- Vérifier que \(\Delta = (-1 + i\sqrt{3})^2 a^2\) est le discriminant de l'équation
2- Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation \((E)\).
Solution Exercice 2
Solution détaillée ici...