Exercices de Mathématiques avec Solutions – Algèbre et Nombres Complexes

Exercices de Mathématiques avec Solutions

Exercice 1 – Structure algébrique ⭐⭐

On rappelle que \((\mathbb{Z},+, \times)\) est un anneau commutatif, unitaire et intègre.

1- On munit \(\mathbb{Z}\) de la loi de composition interne \(*\) définie par :

\[ (\forall(x,y)\in\mathbb{Z}^2)\ ;\qquad x*y=x+y-2 \]

a) Montrer que la loi \(*\) est commutative et associative.

b) Montrer que \((\mathbb{Z},*)\) admet un élément neutre que l'on déterminera.

c) En déduire que \((\mathbb{Z},*)\) est un groupe commutatif.

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a) Commutativité et associativité

Pour tous \(x,y\in\mathbb Z\) :

\[ x*y=x+y-2 \]

\[ y*x=y+x-2 \]

Comme \(x+y=y+x\), alors :

\[ \boxed{x*y=y*x} \]

La loi \(*\) est donc commutative.

Pour l'associativité :

\[ (x*y)*z =(x+y-2)+z-2 \]

\[ (x*y)*z=x+y+z-4 \]

D'autre part :

\[ x*(y*z) =x+(y+z-2)-2 \]

\[ x*(y*z)=x+y+z-4 \]

Donc :

\[ \boxed{(x*y)*z=x*(y*z)} \]

La loi \(*\) est associative.

---

b) Élément neutre

Cherchons \(e\in\mathbb Z\) tel que :

\[ x*e=x \]

\[ x+e-2=x \]

Donc :

\[ e=2 \]

Vérification :

\[ x*2=x+2-2=x \]

Ainsi l'élément neutre est :

\[ \boxed{e=2} \]

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c) Groupe commutatif

Pour tout \(x\in\mathbb Z\), cherchons son symétrique \(x'\).

\[ x*x'=2 \]

\[ x+x'-2=2 \]

\[ x'=4-x \]

Comme \(4-x\in\mathbb Z\), tout élément possède un symétrique.

On a donc l'associativité, la commutativité, un élément neutre et un symétrique pour chaque élément.

\[ \boxed{(\mathbb Z,*)\text{ est un groupe commutatif}} \]

(\forall(x,y)\in\mathbb{Z}^2)\ ;\qquad
x*y=x+y-2

a) Montrer que la loi * est commutative et associative.

b) Déterminer l'élément neutre.

c) Montrer que (\mathbb{Z},*) est un groupe commutatif.

Exercice 2 – Nombres complexes ⭐⭐

Soit \(a\) un nombre complexe non nul.

Partie I : Soit dans l'ensemble \(\mathbb C\) l'équation \((E)\) d'inconnue \(z\) :

\[ (E): 2z^2-(3+i\sqrt3)az+(1+i\sqrt3)a^2=0 \]

1- Vérifier que

\[ \Delta=(-1+i\sqrt3)^2a^2 \]

est le discriminant de l'équation.

2- Résoudre dans \(\mathbb C\) l'équation \((E)\).

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1) Calcul du discriminant

On a :

\[ A=2,\qquad B=-(3+i\sqrt3)a,\qquad C=(1+i\sqrt3)a^2 \]

Donc :

\[ \Delta=B^2-4AC \]

\[ \Delta= (3+i\sqrt3)^2a^2 -8(1+i\sqrt3)a^2 \]

Or :

\[ (3+i\sqrt3)^2 = 9+6i\sqrt3-3 = 6+6i\sqrt3 \]

Ainsi :

\[ \Delta= (6+6i\sqrt3-8-8i\sqrt3)a^2 \]

\[ \Delta= (-2-2i\sqrt3)a^2 \]

Or :

\[ (-1+i\sqrt3)^2 = 1-2i\sqrt3-3 = -2-2i\sqrt3 \]

Donc :

\[ \boxed{ \Delta=(-1+i\sqrt3)^2a^2 } \]

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2) Résolution de l'équation

On a :

\[ \sqrt{\Delta} = \pm(-1+i\sqrt3)a \]

Les solutions sont donc :

\[ z= \frac{(3+i\sqrt3)a \pm(-1+i\sqrt3)a}{4} \]

Première solution :

\[ z_1= \frac{(3+i\sqrt3)+(-1+i\sqrt3)}4a \]

\[ \boxed{ z_1= \frac{1+i\sqrt3}{2}a } \]

Deuxième solution :

\[ z_2= \frac{(3+i\sqrt3)-(-1+i\sqrt3)}4a \]

\[ \boxed{z_2=a} \]

Ainsi :

\[ \boxed{ S= \left\{ a,\; \frac{1+i\sqrt3}{2}a \right\} } \]

(E):
2z^2-(3+i\sqrt3)az+(1+i\sqrt3)a^2=0

\Delta=(-1+i\sqrt3)^2a^2

z_1=a

z_2=\frac{1+i\sqrt3}{2}a