Examen National Mathématiques Sciences Maths 2013 Normale

Examen de Mathématiques – Sciences Mathématiques

Exercice 1 ⭐⭐

On rappelle que \((\mathbb{Z},+, \times)\) est un anneau commutatif, unitaire et intègre.

1- On munit \(\mathbb{Z}\) de la loi de composition interne \( * \) définie par :

\[ (\forall(x,y)\in\mathbb{Z}^2)\ ;\qquad x*y=x+y-2. \]

a) Montrer que la loi \( * \) est commutative et associative.

b) Montrer que \((\mathbb{Z},*)\) admet un élément neutre que l'on déterminera.

c) En déduire que \((\mathbb{Z},*)\) est un groupe commutatif.

2- On munit \(\mathbb{Z}\) de la loi de composition interne \(T\) définie par :

\[ (\forall(x,y)\in\mathbb{Z}^2)\ ;\qquad xTy=xy-2x-2y+6. \]

et on considère l'application \(f\) de \(\mathbb{Z}\) dans \(\mathbb{Z}\) définie par :

\[ (\forall x\in\mathbb{Z})\ ;\qquad f(x)=x+2. \]

a) Montrer que \(f\) est un isomorphisme de \((\mathbb{Z},\times)\) dans \((\mathbb{Z},T)\).

b) Montrer que :

\[ (\forall(x,y,z)\in\mathbb{Z}^3)\ ;\qquad (x*y)Tz=(xTz)*(yTz). \]

3- En déduire de tout ce qui précède que \((\mathbb{Z},*,T)\) est un anneau commutatif.

4-

a) Montrer que :

\[ xTy=2 \quad\Longleftrightarrow\quad (x=2\ \text{ou}\ y=2). \]

b) En déduire que l'anneau \((\mathbb{Z},*,T)\) est intègre.

c) \((\mathbb{Z},*,T)\) est-il un corps ? Justifier votre réponse.

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Exercice 2 ⭐⭐

Soit \(a\) un nombre complexe non nul.

Partie I : Soit dans l'ensemble \(\mathbb{C}\) l'équation \((E)\) d'inconnue \(z\) :

\[ (E):\quad 2z^2-(3+i\sqrt3)az+(1+i\sqrt3)a^2=0. \]

1- Vérifier que

\[ \Delta=(-1+i\sqrt3)^2a^2 \]

est le discriminant de l'équation.

2- Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation \((E)\).

Partie II : Le plan complexe est rapporté au repère \((O;\vec{u};\vec{v})\).

On considère les points \(A,B\) et \(M\) d'affixes respectives \(a,\ ae^{i\frac{\pi}{3}}\) et \(z\).

Soit \(r\) la rotation de centre \(M\) et d'angle \(\frac{\pi}{3}\).

On pose \(A_1=r^{-1}(A)\) et \(B_1=r(B)\).

\((r^{-1})\) désigne la rotation réciproque de la rotation \(r\).

Et soient \(a_1\) et \(b_1\) les affixes respectives des points \(A_1\) et \(B_1\).

1- Vérifier que le triangle \(OAB\) est équilatère.

2- a) Montrer que :

\[ a_1= \left(\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}\right)a+ \left(\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right)z \]

et que

\[ b_1= \left(-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right)a+ \left(\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}\right)z. \]

b) Montrer que le quadrilatère \(OA_1MB_1\) est un parallélogramme.

3- a) Supposons que \(M\neq A\) et \(M\neq B\).

Montrer que :

\[ \frac{z-b_1}{z-a_1} = \left(\frac{z-b}{z-a}\right) \times\frac{a}{b}. \]

b) Montrer que les points \(M,A,B\) sont alignés si et seulement si \(M,O,A,B\) sont cocycliques.

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Exercice 3 ⭐⭐

L'objectif de l'exercice est de chercher les entiers naturels \(n\) strictement supérieurs à \(1\) et qui vérifient la propriété suivante :

\[ (\mathbf{R}):\qquad 3^n-2^n\equiv0[n]. \]

1- On suppose que \(n\) vérifie la propriété \((R)\) et soit \(p\) le plus petit diviseur premier positif de \(n\).

a) Montrer que :

\[ 3^n-2^n\equiv0[p] \]

puis en déduire que \(p\geq5\).

b) Montrer que :

\[ 2^{p-1}\equiv1[p] \qquad\text{et}\qquad 3^{p-1}\equiv1[p]. \]

c) Montrer qu'il existe un couple \((a,b)\in\mathbb{Z}^2\) tel que :

\[ an-b(p-1)=1. \]

d) Soient \(r\) et \(q\) le reste et le quotient de la division euclidienne de \(a\) par \(p-1\).

\[ a=q(p-1)+r \qquad\text{avec}\qquad 0\leq r

Montrer qu'il existe un entier naturel \(k\) tel que :

\[ rn=1+k(p-1). \]

2- En déduire de tout ce qui précède qu'il n'existe pas d'entier naturel \(n\) strictement supérieur à \(1\) vérifiant \((R)\).

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Exercice 4 ⭐⭐⭐

Soit :

\[ h(1)=1 \qquad\text{et}\qquad (\forall x>1)\ ;\quad h(x)=\frac{x-1}{x\ln x}. \]

1- a) Montrer que la fonction \(h\) est continue à droite en \(1\).

b) Montrer que :

\[ (\forall x>1)\qquad \ln x

et en déduire que la fonction \(h\) est strictement décroissante sur \(]1,+\infty[\).

2- a) Calculer

\[ \lim_{x\to+\infty}h(x) \]

puis donner le tableau de variations de \(h\).

b) En déduire que :

\[ (\forall x>1)\qquad 0

Deuxième partie :

On considère la fonction \(g\) définie sur \([1,+\infty[\) par :

\[ g(1)=\ln2 \]

et

\[ (\forall x>1)\ ;\qquad g(x)=\int_x^{x^2}\frac{1}{\sqrt{t}\ln t}\,dt. \]

1- a) Vérifier que :

\[ (\forall x>1)\ ;\qquad \int_x^{x^2}\frac{1}{t\ln t}\,dt=\ln2. \]

b) Vérifier que :

\[ (\forall x>1)\ ;\qquad g(x)-\ln2 = \int_x^{x^2} \frac{\sqrt{t}-1}{t\ln t}\,dt. \]

c) Montrer que :

\[ (\forall x>1)\ ;\qquad g(x)-\ln2 = \int_{\sqrt{x}}^x \frac{t-1}{t\ln t}\,dt. \]

2- a) Montrer que :

\[ (x-\sqrt{x})h(x) \leq g(x)-\ln2 \leq (x-\sqrt{x})h(\sqrt{x}). \]

b) En déduire que la fonction \(g\) est dérivable à droite en \(1\).

c) Montrer que :

\[ \lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty \qquad;\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{g(x)}x=0. \]

3- a) Montrer que \(g\) est dérivable sur \(]1,+\infty[\) et que :

\[ (\forall x>1)\ ;\qquad g'(x)=\frac12h(\sqrt{x}). \]

b) En déduire que :

\[ (\forall x\geq1)\ ;\qquad 0

puis donner le tableau de variations de \(g\).

c) Construire la courbe \((C)\).

Troisième partie :

I- 1- Montrer que la fonction \(k:x\mapsto g(x)-x+1\) est une bijection de \([1,+\infty[\) dans l'intervalle \(]-\infty,\ln2]\).

2- En déduire qu'il existe un unique réel \(\alpha\in]1,+\infty[\) qui vérifie :

\[ 1+g(\alpha)=\alpha. \]

II- On considère la suite numérique \((u_n)_{n\geq0}\) définie par :

\[ 1\leq u_0<\alpha \qquad\text{et}\qquad (\forall n\geq0)\ ;\quad u_{n+1}=1+g(u_n). \]

1- a) Montrer que :

\[ (\forall n\geq0)\ ;\qquad 1\leq u_n<\alpha. \]

b) Montrer que la suite \((u_n)_{n>0}\) est strictement croissante.

c) En déduire que la suite \((u_n)_{n\geq0}\) est convergente et que :

\[ \lim_{n\to+\infty}u_n=\alpha. \]

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