Exercice 1
avec solution
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On rappelle que $(\mathbb{Z},+, x)$ est un anneau commutatif, unitaire et intègre.
1- On munit $\mathbb{Z}$ de la loi de composition interne $*$ définie par : $$ \left(\forall(x, y) \in \mathbb{Z}^2\right) ; x * y=x+y-2 . $$ a) Montrer que la loi $*$ est commutative et associative.
b) Montrer que $(\mathbb{Z}, *)$ admet un élément neutre que
l'on déterminera.
c) En déduire que $(\mathbb{Z}, *)$ est un groupe commutatif.
2- On munit $\mathbb{Z}$ de la loi de composition interne $T$ définie par : $$ \left(\forall(x, y) \in \mathbb{Z}^2\right) ; x T y=x y-2 x-2 y+6 . $$ et on considère l'application $f$ de $\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Z}$ définie par :
$(\forall x \in \mathbb{Z}) ; f(x)=x+2$.
a) Montrer que $f$ est un isomorphisme de $(\mathbb{Z}, x)$ dans $(\mathbb{Z}, T)$.
b) Montrer que: $\left(\forall(x, y, z) \in \mathbb{Z}^3\right) ;(x * y) T z=(x T z) *(y T z)$.
3- En déduire de tout ce qui précède que $(\mathbb{Z}, *, T)$ est un anneau commutatif
4- a) Montrer que : $x T y=2$ si est seulement si $(x=2$ ou $y=2)$.
b) En déduire que l'anneau $(\mathbb{Z}, *, T)$ est intègre.
c) $(\mathbb{Z}, *, T)$ est-il un corps? (justifier votre réponse).
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souni mohamed
Exercice 2
avec solution
avec solution
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Soit a un nombre complexe non nul.
Partie I : Soit dans l'ensemble $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$ d inconnue z:$$(E): 2 z^2-(3+i \sqrt{3}) a z+(1+i \sqrt{3}) a^2=0$$ 1- Vérifier que $\Delta=(-1+i \sqrt{3})^2 a^2$ est le discriminant de l'équation
2- Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$.
Partie II : Le plan complexe est rapporté au repère $(O ; \vec{u} ; \vec{v})$.
On considère les points $A, B$ et $M$ d'aftixes respectives $a, a e^{i \frac{\pi}{3}}$ et $z$. Soit $r$ la rotation de centre $M$ et d'angle $\frac{\pi}{3}$.
On pose $A_1=$ $r^{-1}(A)$ et $B_1=r(B)$.
$\left(r^{-1}\right)$ désigne la rotation réciproque de la rotation $r$ ).
Et soient $a_1$ et $b_1$ les affixes respectives des points $A_1$ et $B_1$.
1- Vérifier que le triangle $O A B$ est équilatère.
2- a) Montrer que : $a_1=\left(\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) a+\left(\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) z$ et que
$$ b_1=\left(\frac{-1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) a+\left(\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) z $$ b) Montrer que le quadrilatère $O A_1 M B_1$ est un parallélogramme.
3- a) Supposons que $M \neq A$ et $M \neq B$,
montrer que : $\frac{z-b_1}{z-a_1}=\left(\frac{z-b}{z-a}\right) \times \frac{a}{b}$.
b) Montrer que les points $M, A$ et $B$ sont alignés si et seulement si $M, O, A$ et $B$ sont cocycliques.
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solution exercice 2
Exercice 3
avec solution
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L'objectif de l'exercice est de chercher les entiers naturels $n$ strictement supérieurs à 1 et qui vérifient la propriété suivante: $(\mathbf{R}): \quad 3^n-2^n \equiv 0[n]$.
1- On suppose que $n$ vérifie la propriété (R) et soit $p$ le plus petit diviseur premier positif de $n$.
a) Montrer que : $3^n-2^n \equiv 0[p]$ puis en déduire que $p \geq 5$.
b) Montrer que : $2^{p-1} \equiv 1[p]$ et $3^{p-1} \equiv 1[p]$.
c) Montrer qu'il existe un couple $(a, b)$ de $\mathbb{Z}^2$ tel que :
$a n-b(p-1)=1$ .
d) Soient $r$ et $q$ le reste et le quotient de la division euclidienne de $a$ par $p-1$.
$$a=q(p-1)+r \quad avec \quad 0 \leq r< p-1 \quad et\quad q \in \mathbb{Z} $$
Montrer qu'il existe un entier naturel $k$ tel que :
$rn=1+k(p-1)$.
2- En déduire de tout ce qui précède qu'il n'existe pas
d'entier naturel $n$ strictement supérieur à 1 vérifiant $(\mathbf{R})$.
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solution exercice 3
Exercice 4
avec solution
avec solution
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$$\text{ soit : } \quad
h(1)=1 \text { et }(\forall x>1) ;\quad\quad h(x)=\frac{x-1}{x \ln x} .
$$
1- a) Montrer que la fonction $h$ est continue à droite en 1 .
b) Montrer que: $$(\forall x>1) \quad \ln x < x-1 $$ et en déduire que la fonction $h$ est strictement décroissante sur $|1,+\infty|$
2- a) Calculer $\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} h(x)$ puis douner le tableau
de variations de $h$.
b) En déduire que: $(\forall x >1)$ on a $0
2- a) Montrer que : $(\forall x>1) ; (x-\sqrt{x}) h(x) \leq g(x)-\ln 2 \leq(x-\sqrt{x}) h(\sqrt{x})$.
b) En déduire que la fonction $g$ est dérivable à droite au 1 .
c) Montrer que : $$\lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=+\infty \quad; \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{g(x)}{x}=0$$ 3-a) Montrer que $g$ est dérivable sur $] 1,+\infty\left[\right.$ et que :
\quad\quad\quad\quad$(\forall x>1) ; \quad g^{\prime}(x)=\frac{1}{2} h(\sqrt{x})$.
b) En déduire que : $(\forall x \geq 1) ; \quad 0
c) Construire la courbe $(C)$.
Troisième partie :
I- 1- Montrer que la fonction $k: x \mapsto g(x)-x+1$ est
une bijection de $[1,+\infty[$ dans l'intervalle ] $-\infty, \ln 2]$.
2- En déduire qu'il existe un unique réel $\alpha$ de $] 1,+\infty[$
qui vérifie $1+g(\alpha)=\alpha$.
II- On considère la suite numérique $\left(u_n\right)_{n \geq 0}$ définie par : $$ 1 \leq u_0<\alpha \text { et } \quad(\forall n \geq 0) ; u_{n+1}=1+g\left(u_n\right) . $$ 1- a) Montrer que: $(\forall n \geq 0) ; \quad 1 \leq u_n<\alpha$.
b) Montrer que la suite $\left(u_n\right)_{n>0}$ est strictement croissante.
c) En déduire que la suite $\left(u_n\right)_{n \geq 0}$ est convergente
et que $\lim _{n \rightarrow+\infty} u_n=\alpha$.
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ICI SOLUTION 4