On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^{+}\) par :
1) Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite de \(0\).
2)
a) Calculer la limite \[ \lim_{x\to+\infty}f(x). \]
b) Étudier la branche infinie de la courbe \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
3)
a) Montrer que \(f\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\) et calculer \(f'(x)\).
b) Étudier les variations de \(f\) et dresser sa table de variation.
4) Montrer que \(f\) est bijective de \(\mathbb{R}^{+}\) vers un intervalle \(I\) à déterminer.
5) Tracer dans un même repère les courbes \((C_f)\) et celle de sa fonction réciproque.
On pose \[ u(x)=\frac{x}{\sqrt{x}+1}. \] Alors \[ f(x)=x\arctan(u(x)). \]
1) Dérivabilité à droite en \(0\)
Comme \(f(0)=0\), \[ f'_+(0) = \lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x} = \lim_{x\to0^+} \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{x}+1}\right). \] Or \[ \frac{x}{\sqrt{x}+1}\longrightarrow0. \] Donc \[ \boxed{f'_+(0)=0}. \]
2) Limite en \(+\infty\)
On a \[ \frac{x}{\sqrt{x}+1}\longrightarrow+\infty \] et donc \[ \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{x}+1}\right) \longrightarrow\frac{\pi}{2}. \] Ainsi \[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}. \]
Pour la branche infinie : \[ \arctan u=\frac{\pi}{2}-\frac1u+o\left(\frac1u\right). \] Donc \[ f(x) = \frac{\pi}{2}x - \frac{x}{u(x)} +o\left(\frac{x}{u(x)}\right). \] Or \[ \frac{x}{u(x)}=\sqrt{x}+1. \] Ainsi \[ \boxed{ f(x)=\frac{\pi}{2}x-\sqrt{x}-1+o(1) }. \] La droite de direction est donc \[ \boxed{y=\frac{\pi}{2}x}. \]
3) Dérivée
On calcule \[ u'(x) = \frac{\sqrt{x}+2}{2(\sqrt{x}+1)^2}. \] Ainsi \[ f'(x) = \arctan(u(x)) + \frac{x\,u'(x)}{1+u(x)^2}. \] Donc \[ \boxed{ f'(x)= \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{x}+1}\right) + \frac{x(\sqrt{x}+2)} {2(\sqrt{x}+1)^2 \left(1+\dfrac{x^2}{(\sqrt{x}+1)^2}\right)} }. \] Pour \(x>0\), les deux termes sont positifs. Donc \[ \boxed{f'(x)>0}. \]
Ainsi \(f\) est strictement croissante sur \[ [0,+\infty[. \] Comme \[ f(0)=0 \quad\text{et}\quad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, \] on obtient \[ \boxed{f([0,+\infty[)=[0,+\infty[}. \]
4) Bijection
Donc \(f\) est une bijection de \[ \boxed{\mathbb{R}^{+}\text{ vers }I=[0,+\infty[}. \]
Remarque : l'énoncé original mentionne \(\mathbb{R}^{*}\), mais la fonction est explicitement définie sur \(\mathbb{R}^{+}\). Nous avons conservé l'analyse correspondant au domaine donné.
Soit \(f\) la fonction définie par :
1) Déterminer le domaine de définition \(D_f\), puis calculer \[ \lim_{x\to+\infty}f(x). \]
2) Étudier la dérivabilité de \(f\) à gauche de \(0\) et à droite de \(1\) et de \(-1\).
3) Calculer \(f'(x)\), puis donner le tableau de variation de \(f\).
4) Soit \(g\) la restriction de \(f\) sur \([-1,0]\).
a) Montrer que \(g\) est une bijection de \([-1,0]\) vers un intervalle \(J\).
b) Exprimer \(g^{-1}(x)\) pour tout \(x\in J\).
Posons \[ u(x)=x\sqrt[3]{\frac{x}{x^2-1}}. \]
1) Domaine
Pour \(x^2\neq1\), la fonction est définie, et les valeurs en \(x=\pm1\) sont données séparément. Ainsi \[ \boxed{D_f=\mathbb{R}}. \]
Lorsque \(x\to+\infty\), \[ \sqrt[3]{\frac{x}{x^2-1}} \sim\frac1{\sqrt[3]{x}}, \] donc \[ u(x)\sim x^{2/3}\to+\infty. \] Par conséquent \[ \boxed{ \lim_{x\to+\infty}f(x)=\frac{\pi}{2} }. \]
2) Étude de la dérivabilité
Sur les intervalles où \(x\neq-1,0,1\), on dérive par composition. On obtient \[ u'(x) = \frac{2(x^2-2)} {3(x^2-1)} \sqrt[3]{\frac{x}{x^2-1}}. \] Ainsi \[ \boxed{ f'(x)=\frac{u'(x)}{1+u(x)^2} }. \]
Au voisinage de \(0\), \[ u(x)\sim -\sqrt[3]{x} \] du côté \(0^+\), et \[ u(x)\sim \sqrt[3]{|x|} \] du côté \(0^-\). Le taux d'accroissement correspondant n'est pas fini : \(f\) n'est donc pas dérivable en \(0\).
Au voisinage de \(1\) et de \(-1\), le terme à l'intérieur de l'arctangente tend vers l'infini en valeur absolue. L'étude des taux d'accroissement doit être faite avec les expressions latérales.
3) Variations
Le signe de \(f'(x)\) est celui de \[ \frac{x^2-2}{x^2-1} \sqrt[3]{\frac{x}{x^2-1}}. \] Les valeurs critiques sont \[ x=-\sqrt2,\qquad x=0,\qquad x=\sqrt2 \] avec les points particuliers \(x=-1\) et \(x=1\).
On obtient notamment :
- \(f\) décroît sur \(]-\infty,-\sqrt2[\);
- \(f\) croît sur \(]-\sqrt2,-1[\);
- \(f\) décroît sur \(]-1,0[\);
- \(f\) décroît sur \(]0,1[\);
- \(f\) décroît sur \(]1,\sqrt2[\);
- \(f\) croît sur \(]\sqrt2,+\infty[\).
4) Restriction sur \([-1,0]\)
Sur \([-1,0]\), \(g=f_{|[-1,0]}\) est continue et strictement décroissante. De plus, \[ g(-1)=-\frac{\pi}{2}, \qquad g(0)=0. \] Donc \[ \boxed{J=\left[ -\frac{\pi}{2},0\right]}. \] Ainsi \[ \boxed{ g:[-1,0]\longrightarrow \left[-\frac{\pi}{2},0\right] } \] est bijective.
Pour \(g^{-1}\), l'équation \[ y=\arctan\left( x\sqrt[3]{\frac{x}{x^2-1}} \right) \] conduit à \[ \tan y= x\sqrt[3]{\frac{x}{x^2-1}}. \] L'expression explicite de \(g^{-1}\) s'obtient ensuite par élévation au cube et résolution de l'équation algébrique correspondante.
Soit \(f\) la fonction définie par :
1)
a) Étudier la continuité de \(f\) sur \(\mathbb R\).
b) Étudier la dérivabilité de \(f\) à gauche et à droite du point \(2\).
2) Calculer les limites de \(f\) en \(+\infty\) et \(-\infty\).
3) Calculer \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x \] puis étudier la branche infinie de \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
4)
a) Calculer la fonction dérivée sur \(]-\infty,2[\) et \(]2,+\infty[\).
b) Étudier les variations de \(f\) et dresser sa table de variation.
5) Soit \(g\) la restriction de \(f\) sur \(]-\infty,2[\).
a) Montrer que \(g\) est une bijection vers un intervalle \(J\).
b) Exprimer \(g^{-1}(x)\).
1) Continuité en \(2\)
Pour \(x\geq2\), \[ f(2)=1+\sqrt[3]{8-8}=1. \]
À gauche de \(2\), \[ \lim_{x\to2^-} \frac{2}{\pi} \arctan\left(\frac1{\sqrt{2-x}}\right) = \frac{2}{\pi}\times\frac{\pi}{2} =1. \] Donc \[ \boxed{ \lim_{x\to2^-}f(x) = f(2) = \lim_{x\to2^+}f(x)=1 }. \] Ainsi \(f\) est continue en \(2\).
2) Limites
Lorsque \(x\to-\infty\), \[ \frac1{\sqrt{2-x}}\to0, \] donc \[ \boxed{\lim_{x\to-\infty}f(x)=0}. \]
Lorsque \(x\to+\infty\), \[ \sqrt[3]{x^3-2x^2} = x\sqrt[3]{1-\frac2x}. \] Donc \[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}. \]
3) Branche infinie
On a \[ \frac{f(x)}x = \frac1x+ \sqrt[3]{1-\frac2x}. \] Ainsi \[ \boxed{ \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x=1 }. \] La courbe possède donc une direction asymptotique parallèle à \[ \boxed{y=x}. \]
4) Dérivées
Pour \(x<2\), \[ f'(x) = \frac{1} {\pi(2-x)^{3/2} \left(1+\dfrac1{2-x}\right)}. \] Après simplification : \[ \boxed{ f'(x)= \frac{1} {\pi\sqrt{2-x}(3-x)} }. \]
Pour \(x>2\), \[ f'(x) = \frac{x(3x-4)} {3\sqrt[3]{(x^3-2x^2)^2}}. \]
Sur \(]-\infty,2[\), on a \[ f'(x)>0. \] La fonction est donc strictement croissante.
Sur \(]2,+\infty[\), on a également \[ f'(x)>0. \] La fonction est donc strictement croissante.
5) Restriction
Sur \(]-\infty,2[\), \(g\) est continue et strictement croissante. De plus, \[ \lim_{x\to-\infty}g(x)=0 \] et \[ \lim_{x\to2^-}g(x)=1. \] Donc \[ \boxed{ J=]0,1[ }. \] Ainsi \[ \boxed{ g:]-\infty,2[\longrightarrow]0,1[ } \] est bijective.
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R^+\) par :
1) Déterminer la relation entre \(a\) et \(b\) pour que \(f\) soit continue sur \(\mathbb R^+\).
2) Déterminer \(a\) et \(b\) pour que \(f\) soit dérivable sur \(\mathbb R^+\).
1) Continuité en \(x=1\)
À gauche : \[ \lim_{x\to1^-}f(x)=\sqrt1=1. \] À droite : \[ f(1)=a+b+1. \] Pour avoir la continuité : \[ a+b+1=1. \] Donc \[ \boxed{a+b=0}. \]
2) Dérivabilité en \(x=1\)
À gauche : \[ f'_-(1) = \frac1{2\sqrt1} = \frac12. \]
À droite : \[ f'_+(1)=2a+b. \] Pour que \(f\) soit dérivable : \[ 2a+b=\frac12. \]
Avec \[ a+b=0 \] on a \[ b=-a. \] Donc \[ 2a-a=\frac12, \] d'où \[ \boxed{a=\frac12}. \] Puis \[ \boxed{b=-\frac12}. \]
Ainsi : \[ \boxed{ f(x)= \begin{cases} \sqrt{x},&0\leq x<1,\\[4pt] \dfrac12x^2-\dfrac12x+1,&x\geq1. \end{cases}} \]