1) Construire le point \(I\) tel que :
\[ \overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{AB} \]2) Construire le point \(J\) tel que :
\[ \overrightarrow{AJ}=-2\overrightarrow{AC} \]3) Construire le point \(K\) tel que :
\[ \overrightarrow{BK} = \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC} \]4) Construire le point \(L\) tel que :
\[ \overrightarrow{AL} = \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AJ} \]5) Construire le point \(M\) tel que :
\[ \overrightarrow{AM} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AB} -\frac{2}{3}\overrightarrow{AC} \]On considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) du plan tels que :
\[ \overrightarrow{FC} = \frac{3}{5}\overrightarrow{FB} \] \[ \overrightarrow{EB} = -2\overrightarrow{EA} \] \[ \overrightarrow{FB} = \frac{2}{3}\overrightarrow{FC} \]1) Construire une figure.
2) Montrer que :
\[ \overrightarrow{BE} = 2\overrightarrow{EF} +\frac{4}{3}\overrightarrow{FG} \] \[ \overrightarrow{CF} = \frac{9}{5}\overrightarrow{EF} +\frac{4}{5}\overrightarrow{FG} \]3) Montrer que les points \(E\), \(C\) et \(G\) sont alignés.
4) En déduire que les droites \((EG)\) et \((FB)\) sont sécantes au point \(C\).
1) Construire une figure.
2) Montrer que :
\[ \overrightarrow{PJ} = -\overrightarrow{MN} +2\overrightarrow{MQ} \] \[ \overrightarrow{PI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{MN} -\overrightarrow{MQ} \]3) Déduire que les points \(P\), \(I\) et \(J\) sont alignés.
4) Soit \(E\) le milieu du segment \([OQ]\) et \(F\) un point tel que :
\[ \overrightarrow{NF} = \overrightarrow{MN} \]a) Montrer que \(P\) est le milieu de \([EF]\).
b) Montrer que :
\[ (EF)//(NQ) \]1) Construire une figure.
2)
a) Montrer que :
\[ \overrightarrow{MJ} = 2\overrightarrow{MA} -\overrightarrow{MT} \]b) Déduire que :
\[ \overrightarrow{IJ} = 2\overrightarrow{MA} -\frac{4}{3}\overrightarrow{MT} \]3) Soit \(K\) un point tel que :
\[ \overrightarrow{MK} = -\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MT} \]a) Montrer que :
\[ \overrightarrow{IK} = -\overrightarrow{MA} +\frac{2}{3}\overrightarrow{MT} \]b) Déduire que les points \(I\), \(J\) et \(K\) sont alignés.
1) Montrer que :
\[ \overrightarrow{BJ} = -\overrightarrow{AB} +\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} \] \[ \overrightarrow{CK} = -\overrightarrow{AC} +\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \]2) Soit \(E\) et \(F\) deux points du plan tels que :
\[ \overrightarrow{BE} = 2\overrightarrow{BJ} \] \[ \overrightarrow{CF} = 2\overrightarrow{CK} \]a) Construire une figure.
b) Quelle est la nature des quadrilatères \(ACBF\) et \(ACBE\) ?
c) Montrer que les points \(A\), \(E\) et \(F\) sont alignés.
1) Construire les points \(E\) et \(F\).
2) Montrer que :
\[ \overrightarrow{BE} = \frac{3}{2}\overrightarrow{DA} - \overrightarrow{AB} \] \[ \overrightarrow{BF} = \frac{2}{3}\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BC} \]3) Exprimer les vecteurs \(\overrightarrow{BE}\) et \(\overrightarrow{BF}\) en fonction des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BC}\).
4)
a) Établir que :
\[ 2\overrightarrow{BE} + 3\overrightarrow{BF} = \vec{0} \]b) En déduire que les points \(B\), \(E\) et \(F\) sont alignés.
1) Faire une figure.
2)
a) Montrer que :
\[ \overrightarrow{EB} = 2\overrightarrow{EF} - \overrightarrow{EG} \]b) Déduire que :
\[ \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{EF} - \frac{4}{3}\overrightarrow{EG} \]3) Soit \(C\) un point du plan tel que :
\[ \overrightarrow{EC} = -\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{EG} \]a) Montrer que :
\[ \overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{EF} + \frac{2}{3}\overrightarrow{EG} \]b) Déduire que les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.
1) Construire une figure.
2) Montrer que :
\[ \overrightarrow{BI} = \frac{2}{3}\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BC} \] \[ \overrightarrow{BJ} = \frac{3}{2}\overrightarrow{DA} - \overrightarrow{AB} \]3) Calculer le vecteur \(\overrightarrow{BI}\) en fonction de \(\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{AB}\).
4) Calculer le vecteur \(\overrightarrow{BJ}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BC}\).
5) Déduire que les points \(B\), \(I\) et \(J\) sont alignés.
1) Faire une figure.
2) Montrer que :
\[ \overrightarrow{MC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} \] \[ \overrightarrow{CN} = 2\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{DC} \]3) Déduire que les points \(C\), \(M\) et \(N\) sont alignés.
4) Soit \(I\) le milieu du segment \([DN]\) et \(J\) le point tel que :
\[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BJ} \]a) Montrer que \(C\) est le milieu du segment \([IJ]\).
b) Montrer que :
\[ (IJ)//(BD) \]1) Montrer que :
\[ \overrightarrow{AE} = \frac{2}{5}\overrightarrow{AB} \]et que :
\[ \overrightarrow{AF} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} \]2) Montrer que :
\[ \overrightarrow{BK} = -\overrightarrow{BC} \]et en déduire que :
\[ \overrightarrow{AK} = 2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} \]3)
a) Montrer que :
\[ 5\overrightarrow{EG} - \overrightarrow{CG} = \vec{0} \]b) Montrer que :
\[ 3\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{KG} = \vec{0} \]c) En déduire que les droites \((CE)\) et \((AK)\) sont sécantes et se coupent au point \(G\).
4) Montrer que le point \(G\) est le milieu du segment \([BF]\).
5)
a) Écrire \(\overrightarrow{AG}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
b) Construire le triangle \(ABC\) et les points \(E\), \(F\), \(G\) et \(K\).
1) Montrer que les vecteurs \(\overrightarrow{EF}\) et \(\overrightarrow{CB}\) sont colinéaires pour tout \(k\in\mathbb{R}\).
2) Pour quelles valeurs de \(k\) les points \(E\) et \(F\) sont confondus ?
3) Calculer la valeur de \(k\) pour laquelle le quadrilatère \(BCEF\) soit un parallélogramme.
1) Faire une figure convenable.
2) Montrer que :
\[ \overrightarrow{MN} = \frac{3}{4}\overrightarrow{BC} \]3) Montrer que :
\[ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AP} \]4)
a) Montrer que :
\[ \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AN} \]b) En déduire la nature du quadrilatère \(AMNP\).
1) Déterminer les valeurs des réels \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\) tels que :
\[ \overrightarrow{AE} = \alpha\overrightarrow{AB} \] \[ \overrightarrow{AG} = \beta\overrightarrow{AC} \] \[ \overrightarrow{BF} = \gamma\overrightarrow{BC} \]2) Exprimer \(\overrightarrow{EG}\) en fonction des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
3) Démontrer que :
\[ \overrightarrow{EF} = \frac{9}{28}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{7}\overrightarrow{AC} \]4) Justifier que :
\[ \overrightarrow{EF} = \frac{9}{7}\overrightarrow{EG} \]Que peut-on conclure ?