Tcs séries 1
📚 Arithmétique dans ℕ
📘 Série 1
Exercice 1
⭐ ⭐
avec solution
Soit \(n\in\mathbb{N}\). Montrer que :
- \(2n+5\) est impair
- \(4n^2+2n+8\) est pair
- \(n(n+1)\) est pair
- \(n^2+n+3\) est impair
2. Montrons que \(4n^2+2n+8\) est pair
\[
4n^2+2n+8=2(2n^2+n+4)
\]
On pose :
\[
k=2n^2+n+4
\]
Comme \(n\in\mathbb{N}\), alors \(k\in\mathbb{N}\).
Donc :
\[
4n^2+2n+8=2k
\]
Ainsi, \(4n^2+2n+8\) est pair.
\[
\boxed{4n^2+2n+8\text{ est pair}}
\]
3. Montrons que \(n(n+1)\) est pair
On distingue deux cas.
Premier cas : \(n\) est pair.
On pose :
\[
n=2k,\qquad k\in\mathbb{N}
\]
Alors :
\[
n(n+1)=2k(n+1)
\]
On pose :
\[
p=k(n+1)
\]
Comme \(p\in\mathbb{N}\), on obtient :
\[
n(n+1)=2p
\]
Donc \(n(n+1)\) est pair.
Deuxième cas : \(n\) est impair.
On pose :
\[
n=2k+1,\qquad k\in\mathbb{N}
\]
Alors :
\[
n+1=2k+2
\]
\[
=2(k+1)
\]
Donc :
\[
n(n+1)=2n(k+1)
\]
On pose :
\[
p=n(k+1)
\]
Comme \(p\in\mathbb{N}\), alors :
\[
n(n+1)=2p
\]
Ainsi, dans les deux cas :
\[
\boxed{n(n+1)\text{ est pair}}
\]
4. Montrons que \(n^2+n+3\) est impair
D'après la question précédente, \(n(n+1)\) est pair.
Or :
\[
n(n+1)=n^2+n
\]
Donc il existe \(k\in\mathbb{N}\) tel que :
\[
n^2+n=2k
\]
Alors :
\[
n^2+n+3=2k+3
\]
\[
=2k+2+1
\]
\[
=2(k+1)+1
\]
On pose :
\[
p=k+1
\]
Comme \(k\in\mathbb{N}\), alors \(p\in\mathbb{N}\).
Donc :
\[
n^2+n+3=2p+1
\]
Ainsi, \(n^2+n+3\) est impair.
\[
\boxed{n^2+n+3\text{ est impair}}
\]
Exercice 2
⭐ ⭐
avec solution
Soit \(n\in\mathbb{N}\). Étudier la parité des nombres suivants :
- \((2n+1)(2n+3)\)
- \(2n^2+4n+1\)
- \(5n^2+n\)
- \(n^3-1\)
- \(n^3+1\)
- \(3^{2n}\)
- \(4^{2n+1}\)
- \(n^2+n+2\)
Exercice 3
⭐ ⭐
avec solution
1)
a) Déterminer tous les diviseurs de \(34\)
b) Déterminer les entiers naturels \(x\) et \(y\) tels que
\[
(x+1)(y+2)=34
\]
2) Déterminer tous les entiers naturels \(x\) et \(y\) tels que
\[
(x+1)(y-2)=13
\]
Exercice 4
⭐ ⭐
avec solution
Déterminer tous les entiers naturels \(x\) et \(y\) tels que :
1)
\[
(x+1)(y+1)=9
\]
2)
\[
(x+2)(y+3)=21
\]
3)
\[
x^2-y^2=28
\]
4)
\[
xy+x+2y=19
\]
Exercice 5
⭐ ⭐
avec solution
1) Montrer que \(127\) est premier
2) Les nombres suivants sont-ils premiers ?
\[
111\ ;\ 251\ ;\ 1001\ ;\ 51^2
\]
Exercice 6
⭐ ⭐
avec solution
1)
Donner les décompositions en produit de facteurs premiers des nombres suivants :
\[
504\ ;\ 1386\ ;\ 16093
\]
2)
Déterminer \(PGCD(504,1386)\) et \(PPCM(504,1386)\)
\[
PGCD(1386,16093)
\qquad
PPCM(1386,16093)
\]
\[
PGCD(504,16093)
\qquad
PPCM(504,16093)
\]
3)
Écrire les fractions suivantes sous leur forme irréductible :
\[
\frac{504}{1386}
\ ;\
\frac{16093}{1386}
\ ;\
\frac{504}{16093}
\]
Exercice 7
⭐ ⭐
avec solution
On pose \(a=240\ ;\ b=135\)
1)
Décomposer en produit de facteurs premiers les entiers \(a\) et \(b\)
2)
Simplifier au maximum
\[
\frac{a}{b}
\qquad\text{et}\qquad
\sqrt{ab}
\]
3)
Calculer \(PGCD(a,b)\) et \(PPCM(a,b)\)
4)
Sans utiliser la calculatrice, calculer sous forme d'une fraction irréductible
\[
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}
\]
Exercice 8
⭐ ⭐
avec solution
Soit \(n\in\mathbb{N}\). On pose
\[
A=(5n+2)^2-n(21n+16)-3
\]
1) Développer \(A\)
2) Montrer que \(A\) est un carré parfait
3) Déterminer la parité de \(A\)
Exercice 9
⭐ ⭐
avec solution
Soit \(a,b\) deux entiers naturels tels que \(a\wedge b=12\)
1) Déterminer tous les diviseurs de \(a\) et \(b\)
2) Sachant que \(ab=864\)
a) Calculer \(a\vee b\)
b) En déduire les valeurs de \(a\) et \(b\)
Exercice 10
⭐ ⭐
avec solution
On considère les entiers naturels
\(a=1176\) et \(b=4950\)
1)
Décomposer les nombres \(a\) et \(b\) en produit de facteurs premiers
2)
Déterminer le nombre des diviseurs de chacun des entiers \(a\) et \(b\)
3)
Déterminer \(a\wedge b\) et \(a\vee b\)
4)
Déterminer le plus petit entier naturel \(c\) tel que \(ac\) soit un carré parfait
5)
Déterminer le plus petit entier naturel \(d\) tel que \(bd\) soit un carré parfait
Exercice 11
⭐ ⭐
avec solution
Soit \(n\in\mathbb{N}\) tel que \(n\geq2\).
1)
a)
Développer et réduire l'expression
\[
(n^2+n+1)(n^2-n+1)
\]
b)
En déduire que l'entier
\(n^4+n^2+1\) n'est pas premier
2)
Montrer que le nombre \(10101\) n'est pas premier
Exercice 12
⭐ ⭐
avec solution
Soit \(n\in\mathbb{N}\). On pose :
\[
A=5^{n+2}-5^n
\]
\[
B=3^{n+3}+3^n
\]
1)
Écrire l'entier naturel \(A\) sous forme de produit de facteurs premiers
2)
Écrire l'entier naturel \(B\) sous forme de produit de facteurs premiers
3)
Déterminer \(A\wedge B\) et \(A\vee B\)
4)
Donner la forme irréductible de la fraction
\[
\frac{A}{B}
\]
Exercice 13
⭐ ⭐
avec solution
Soit \(n\) et \(m\) deux entiers naturels.
1)
Montrer que si \(m=3n+1\), alors
\(m^2-1\) est divisible par \(3\)
2)
Montrer que si \(m=3n+2\), alors
\(m^2+2\) est divisible par \(3\)
3)
Montrer que la somme de trois nombres entiers consécutifs est un multiple de \(3\)
4)
Montrer que si \((3n+2m)\) et \((7n+5m)\) sont multiples de \(5\),
alors \(n\) est un multiple de \(5\)
📘 Série 2 : Arithmétique dans ℕ
Exercice 1
⭐ ⭐
avec solution
Soit \(p\) un entier naturel.
1) Sans aucun calcul, déterminer la parité de l'entier :
\[
a=4\times3^{2023}+5^{2024}
\]
2) En n'utilisant que les critères de divisibilité,
indiquer si le nombre \(453\) est divisible par \(2\), par \(3\), par \(5\).
3) Est-ce que la somme de deux multiples de \(7\)
est un multiple de \(7\) ? Justifier la réponse.
4) Calculer, en utilisant la méthode que vous voulez :
\[
PGCD(34,255)
\]
Exercice 2
⭐ ⭐
avec solution
On pose :
\[
A=2^3\times5^2+2^5\times5
\]
\[
B=2^2\times3+2^4\times3
\]
1) Écrire les deux nombres \(A\) et \(B\)
sous forme de produit de facteurs premiers.
2) Calculer \(PGCD(A,B)\) et \(PPCM(A,B)\).
3) Déterminer le plus petit dénominateur commun,
puis calculer la somme :
\[
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}
\]
et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible.
Exercice 3
⭐ ⭐
avec solution
1) Montrer que le nombre \(127\) est premier.
2) Le nombre \(113\) est-il premier ?
Exercice 4
⭐ ⭐
avec solution
On pose \(u=360\) et \(v=108\).
1) Écrire sous forme de produit de facteurs premiers
les nombres \(u\) et \(v\).
2) Déduire que :
\[
\sqrt{u}=2^2\times3^2\times\sqrt{2\times3\times5}
\]
3) Calculer \(PGCD(u,v)\) et \(PPCM(u,v)\).
4) Rendre la fraction suivante irréductible :
\[
\frac{108}{360}
\]
Exercice 5
⭐ ⭐
avec solution
1)
a) Déterminer les diviseurs de \(21\).
b) Déterminer tous les couples \((x,y)\)
d'entiers naturels tels que :
\[
(x+2)(y+3)=21
\]
2) Soit \(a\) et \(b\) deux entiers tels que \(a
Montrer que : si \(p\) divise \(a\) et \(b\),
alors \(p\) divise \(b-a\).
Exercice 6
⭐ ⭐
avec solution
1) Soit \(a\) et \(b\) deux entiers.
Montrer que : si \(2\) divise \(a\) et \(3\) divise \(b\),
alors \(6\) divise \(ab\).
2) On pose :
\[
c=3^{n+3}+3^{n+1}
\qquad \text{avec } n\in\mathbb{N}
\]
a) Écrire sous forme d'un produit de facteurs premiers
l'entier \(c\).
b) Montrer que \(c\) est divisible par \(2\)
pour tout entier \(n\) de \(\mathbb{N}\).
3)
a) Déterminer les diviseurs de \(15\).
b) Déterminer tous les couples \((x,y)\)
d'entiers naturels tels que :
\[
(x-1)(2y-1)=15
\]
4) L'entier \(143\) est-il premier ?
Exercice 7
⭐ ⭐
avec solution
Soit \(n\in\mathbb{N}\). On pose :
\[
a=2^{n+1}+5\times2^n
\]
\[
b=7^{n+1}+6\times7^n
\]
1) Montrer que \(a\) est un multiple de \(7\)
et que \(13\) divise \(b\).
2) Déterminer \(PGCD(a,b)\).
📘 Série 3 : Arithmétique dans ℕ
Exercice 1
⭐ ⭐
avec solution
Soit \(p\) un entier naturel.
1) Déterminer la parité des nombres suivants :
\(A=p^2+p\)
\(B=(2p+1)^{2024}+(4p)^{2031}\)
\(C=3p^3-p\)
2)
a) Vérifier que :
\[
p^2+7p+13=(p+3)(p+4)+1
\]
b) Montrer que \(p^2+7p+13\) est impair.
Exercice 2
⭐ ⭐
avec solution
1) Vérifier que pour tout \(n\in\mathbb{N}\) :
\[
n^2+5n+12=(n+3)(n+2)+6
\]
2) Déterminer toutes les valeurs de l'entier naturel \(n\) telles que :
\[
(n+3)\mid(n^2+4n+12)
\]
Exercice 3
⭐ ⭐
avec solution
1) Décomposer \(1008\) et \(3240\) en produit de facteurs premiers.
2) Déduire :
\[
1008\wedge3240
\]
\[
1008\vee3240
\]
3) Donner les formes irréductibles de :
\[
\frac{1008}{3240}
\]
\[
\frac{1}{1008}+\frac{1}{3240}
\]
Exercice 4
⭐ ⭐
avec solution
1) Soient \(n,a,b\in\mathbb{N}\) tels que :
\[
a=2n^2+4n+7
\]
\[
b=n^2+5n+6
\]
a) Étudier la parité de \(a\) et \(b\).
b) Montrer que \(a+b-1\) est un multiple de \(3\).
2) On pose :
\[
A=7^{n+2}-7^n
\]
\[
B=3\times7^{n+1}+5\times7^n
\]
Montrer que \(A\) est divisible par \(3\) et que \(B\) est divisible par \(13\).
Exercice 5
⭐ ⭐
avec solution
On pose :
\[
n=2353
\]
\[
m=14850
\]
1) Déterminer les décompositions en facteurs premiers de \(n\) et \(m\).
2) Déterminer le nombre de diviseurs de chacun des deux nombres.
3) Déterminer :
\[
n\wedge m
\]
\[
n\vee m
\]
4)
a) Déterminer le plus petit entier \(p\) tel que \(p\times n\) soit un carré parfait.
b) Déterminer le plus petit entier \(q\) tel que \(q\times m\) soit un carré parfait.
5) Simplifier :
\[
\frac{n}{m}
\]
\[
\sqrt{nm}
\]
Exercice 6
⭐ ⭐
avec solution
Soit \(n\in\mathbb{N}\).
1) Montrer que :
\[
n^3-n=(n+2)(n^2-2n+3)-6
\]
2) Déterminer \(n\) tel que :
\[
\frac{n^3-n}{n+2}\in\mathbb{N}
\]
Exercice 7
⭐ ⭐
avec solution
1) Déterminer \(D(6)\), l'ensemble des diviseurs de \(6\).
2) Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), montrer que :
\[
\frac{n+8}{n+2}=1+\frac{6}{n+2}
\]
3) Déterminer les valeurs possibles de \(n\) telles que :
\[
\frac{n+8}{n+2}\in\mathbb{N}
\]
Exercice 8
⭐ ⭐
avec solution
1)
a) Déterminer les diviseurs de \(26\).
c) En déduire \(x,y\in\mathbb{N}\) tels que :
\[
(x+1)(y+2)=26
\]
2) Déterminer \(x,y\in\mathbb{N}\) tels que :
\[
(x+1)(y+1)=17
\]
Exercice 9
⭐ ⭐
avec solution
1) Déterminer les diviseurs de \(42\).
2) Résoudre dans \(\mathbb{N}^2\) :
\[
x^2-y^2=42
\]
Exercice 10
⭐ ⭐
avec solution
Soient \(m,n\in\mathbb{N}\) tels que :
\[
m\wedge n=18
\]
1) Déterminer tous les diviseurs communs positifs de \(m\) et \(n\).
2) Déterminer les facteurs premiers communs de \(m\) et \(n\).
3) Sachant que :
\[
m\times n=972
\]
Déterminer \(m\vee n\), puis \(m\) et \(n\).
Exercice 11
⭐ ⭐
avec solution
Déterminer le plus petit nombre naturel dont les restes sont
respectivement \(5\), \(13\) et \(17\) lorsqu'on le divise
respectivement par \(15\), \(23\) et \(17\).
Exercice 12
⭐ ⭐
avec solution
Soient \(a,b\in\mathbb{N}\) tels que :
\[
a\wedge b=11
\]
On pose :
\[
x=13a+5b
\]
\[
y=5a+2b
\]
Déterminer :
\[
x\wedge y
\]
