Soit \(f\) la fonction définie sur \(I=[1\,;2]\) par :
(1) Étudier les variations de la fonction \(f\).
(2) Montrer que :
(3) Soit \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) la suite définie par :
a) Montrer que :
b) Montrer que la suite \((u_n)\) est décroissante.
c) Montrer que la suite \((u_n)\) est convergente.
d) Déterminer la limite de \((u_n)\).
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Exercice 1}
Soit $f$ la fonction définie sur $I=[1 ; 2]$ par:
$f(x)=\frac{5x-1}{x+3}$
(1) - Etudier les variations de la fonction $f$.
(2) - Montrer que : $f(I) \subset I$.
(3) - Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par:
$$
\begin{cases}
u_0=2\\
u_{n+1}=f(u_n)
\end{cases}
\qquad ;(\forall n\in\mathbb{N})
$$
a) Montrer que:
$(\forall n\in\mathbb{N}): 1\leq u_n\leq2$.
b) Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
c) Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente.
d) Déterminer la limite de $(u_n)$.
Soit \(f\) la fonction définie par :
(1) Étudier les variations de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}^{+}\).
(2) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(f(x)=x\).
(3) Montrer que :
(4) Soit \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) la suite définie par :
a) Montrer que :
b) Déterminer le sens des variations de la suite \((u_n)\).
c) Montrer que la suite \((u_n)\) est convergente et déterminer sa limite.
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Exercice 2}
Soit $f$ la fonction définie par:
$f(x)=\frac{1}{2}\sqrt{3+x^2}$.
(1) - Etudier les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}^{+}$.
(2) - Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $f(x)=x$.
(3) - Montrer que:
$(\forall x\in[0 ;1]): f(x)\geq x$.
(4) - Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par:
$$
\begin{cases}
u_0=0\\
u_{n+1}=f(u_n)
\end{cases}
\qquad ;(\forall n\in\mathbb{N})
$$
a) Montrer que:
$(\forall n\in\mathbb{N}): 0\leq u_n\leq1$.
b) Déterminer le sens des variations de la suite $(u_n)$.
c) Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente
et déterminer sa limite.
Considérons la suite \((u_n)\) définie par :
1. Montrer par récurrence que :
2. Montrer que \((u_n)\) est décroissante et qu'elle est convergente.
3. On pose :
a) Montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique.
b) Calculer \(v_n\) en fonction de \(n\).
c) Déduire \(u_n\) en fonction de \(n\), puis calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n\).
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Exercice 3}
Considérons la suite $(u_n)$ définie par:
$$
u_0=2
$$
et
$$
u_{n+1}=\frac{7u_n+2}{2u_n+7}
$$
pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.
1. Montrer par récurrence que:
$u_n\geq1$, pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.
2. Montrer que $(u_n)$ est décroissante et qu'elle est convergente.
3. On pose:
$$
v_n=\frac{u_n-1}{u_n+1}
$$
pour tout $n\in\mathbb{N}$.
a) Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique.
b) Calculer $v_n$ en fonction de $n$.
c) Déduire $u_n$ en fonction de $n$,
puis calculer $\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n$.
Considérons la suite \((u_n)\) définie par :
1. Montrer par récurrence que :
2. On pose :
a) Montrer que \((v_n)\) est une suite arithmétique.
b) Calculer \(v_n\) en fonction de \(n\).
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Exercice 4}
Considérons la suite $(u_n)$ définie par:
$$
u_0=3
$$
et
$$
u_{n+1}=\frac{12-8u_n}{4-3u_n}
$$
pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.
1. Montrer par récurrence que:
$u_n>2$, pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.
2. On pose:
$$
v_n=\frac{u_n}{u_n-2}
$$
pour tout $n\in\mathbb{N}$.
a) Montrer que $(v_n)$ est une suite arithmétique.
b) Calculer $v_n$ en fonction de $n$.
On considère une suite \((u_n)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par :
On pose \(v_n=u_n-3\).
1)
a) Montrer que la suite \((v_n)\) est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme \(v_0\).
b) Exprimer \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\).
c) En déduire :
2) Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on pose :
Déterminer :
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Exercice 5}
On considère une suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par:
$$
\begin{cases}
u_0=6\\
u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+2
\end{cases}
$$
On pose $v_n=u_n-3$.
1) a) Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique
dont on déterminera la raison et le premier terme $v_0$.
b) Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
c) En déduire
$\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n$
et
$\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n$.
2) Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on pose:
$$
S_n=v_0+v_1+\ldots+v_n
$$
Déterminer
$\lim_{n\rightarrow+\infty}S_n$.
On considère la suite \((u_n)\) définie par :
1. Vérifier que :
pour tout \(n\), puis démontrer par récurrence que :
pour tout \(n\).
2. On considère la suite \((v_n)\) définie par :
d. Montrer que la suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac12\), puis en déduire que :
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
e. Montrer que :
pour tout \(n\in\mathbb{N}\), puis écrire \(u_n\) en fonction de \(n\).
f. Calculer la limite de la suite \((u_n)\).
📖 Corrigé
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\textbf{Exercice 6}
On considère la suite $(u_n)$ définie par:
$$
\begin{cases}
u_0=2\\
u_{n+1}=\frac{3+u_n}{5-u_n}
\end{cases}
\qquad ; \forall n\in\mathbb{N}
$$
1. Vérifier que:
$$
u_{n+1}-u_n=\frac{3}{5}(5-u_n)
$$
pour tout $n$, puis démontrer par récurrence que:
$$
u_n<3
$$
pour tout $n$.
2. On considère la suite $(v_n)$ définie par:
$$
v_n=\frac{3}{u_n-2}
$$
d. Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison
$\frac12$ puis en déduire que:
$$
v_n=\left(\frac12\right)^n
$$
pour tout $n\in\mathbb{N}$.
e. Montrer que:
$$
u_n=\frac{1+3v_n}{1+u_n}
$$
pour tout $n\in\mathbb{N}$ puis écrire $u_n$ en fonction de $n$.
f. Calculer la limite de la suite $(u_n)$.
On considère la suite \((u_n)\) définie par :
1. Démontrer par récurrence que :
2. On considère la suite \((v_n)\) définie par :
a. Montrer que :
pour tout \(n\in\mathbb{N}^{*}\), puis montrer que la suite \((v_n)\) est arithmétique de raison \(1\).
b. Écrire \(v_n\) en fonction de \(n\), puis en déduire :
c. Déterminer :
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Exercice 7}
On considère la suite $(u_n)$ définie par:
$$
\begin{cases}
u_1=5\\
u_{n+1}=\frac{5u_n-4}{1+u_n}
\end{cases}
\qquad ; \forall n\in\mathbb{N}^*
$$
1. Démontrer par récurrence que:
$$
u_n>2
$$
pour tout $n\in\mathbb{N}^*$.
2. On considère la suite $(v_n)$ définie par:
$$
v_n=\frac{3}{u_n-2}
$$
pour tout $n\in\mathbb{N}^*$.
a. Montrer que:
$$
v_{n+1}=\frac{1+u_n}{u_n-2}
$$
pour tout $n\in\mathbb{N}^*$,
puis montrer que la suite $(v_n)$ est arithmétique de raison 1.
b. Ecrire $v_n$ en fonction de $n$, puis en déduire que:
$$
u_n=2+\frac{3}{n}
$$
pour tout $n\in\mathbb{N}^*$.
c. Déterminer:
$$
\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n.
$$
Soit \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) la suite définie par :
On pose, pour tout \(n\in\mathbb{N}\) :
(1) Montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(\dfrac15\).
(2)
a) Calculer \(v_n\) en fonction de \(n\).
b) En déduire \(u_n\) en fonction de \(n\), puis calculer la limite de \(u_n\) lorsque \(n\to+\infty\).
(3) On pose :
et
Montrer que :
et
📖 Corrigé
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\textbf{Exercice 8: (BAC 2007 Session de rattrapage)}
Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par:
$$
\begin{cases}
u_0=2\\
u_{n+1}=\frac{1}{5}(u_n-4n-1)
\end{cases}
\qquad ;(\forall n\in\mathbb{N})
$$
On pose $(\forall n\in\mathbb{N})$:
$$
v_n=u_n+n-1
$$
(1) Montrer que $(v_n)$ est suite géométrique
de raison $\frac15$.
(2) a) Calculer $v_n$ en fonction de $n$.
b) En déduire $u_n$ en fonction de $n$,
puis calculer $\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n$.
(3) On pose:
$$
T_n=v_0+v_1+\ldots+v_n
$$
et
$$
S_n=u_0+u_1+\ldots+u_n
$$
Montrer que:
$$
T_n=\frac14\left(5-\frac{1}{5^n}\right)
$$
et
$$
S_n=T_n-\frac{(n+1)(n-2)}{2}
$$