Une urne \(U_1\) contient six boules portant les nombres : \(0;0;1;1;1;2\) et une urne \(U_2\) contient cinq boules portant les nombres : \(1;1;1;2;2\).
On suppose que les boules des deux urnes sont indiscernables au toucher.
On considère l'expérience aléatoire suivante :
« On tire une boule de l'urne \(U_1\) et on note le nombre \(a\) qu'elle porte, puis on la met dans l'urne \(U_2\), ensuite on tire une boule de l'urne \(U_2\) et on note le nombre \(b\) qu'elle porte. »
On considère les événements suivants :
1.a) Calculer \(p(A)\), la probabilité de l'événement \(A\).
b) Montrer que :
(On peut utiliser l'arbre des possibilités.)
2) Calculer \(p(A/B)\), probabilité de l'événement \(A\) sachant que l'événement \(B\) est réalisé.
3) Soit \(X\) la variable aléatoire qui associe à chaque résultat de l'expérience, le produit \(ab\).
a) Montrer que :
b) Donner la loi de probabilité de \(X\).
Remarquer que les valeurs prises par \(X\) sont : \(0;1;2\) et \(4\).
c) On considère les événements :
Montrer que les événements \(M\) et \(N\) sont équiprobables.
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Examen 2023}
Une urne $U_1$ contient six boules portant les nombres :
$0;0;1;1;1;2$ et une urne $U_2$ contient cinq boules
portant les nombres :
$1;1;1;2;2$.
On suppose que les boules des deux urnes sont indiscernables au toucher.
On considère l'expérience aléatoire suivante :
« On tire une boule de l'urne $U_1$ et on note le nombre
$a$ qu'elle porte, puis on la met dans l'urne $U_2$,
ensuite on tire une boule de l'urne $U_2$ et on note le nombre
$b$ qu'elle porte. »
On considère les événements suivants :
\[
A:\ \text{« la boule tirée de l'urne }U_1
\text{ porte le nombre }1\text{ »}
\]
\[
B:\ \text{« le produit }ab\text{ est égal à }2\text{ »}
\]
1) a) Calculer $p(A)$.
b) Montrer que :
\[
p(B)=\frac14
\]
2) Calculer $p(A/B)$.
3) Soit $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque résultat
de l'expérience, le produit $ab$.
a) Montrer que :
\[
p(X=0)=\frac13
\]
b) Donner la loi de probabilité de $X$.
Remarquer que les valeurs prises par $X$ sont :
$0;1;2$ et $4$.
c) On considère les événements :
\[
M:\ \text{« le produit }ab\text{ est pair non nul »}
\]
\[
N:\ \text{« le produit }ab\text{ est égal à }1\text{ »}
\]
Montrer que les événements $M$ et $N$ sont équiprobables.
Une urne contient trois boules blanches, quatre boules rouges et cinq boules vertes, indiscernables au toucher.
On tire au hasard et simultanément trois boules de l'urne.
1) On considère les événements suivants :
a) Montrer que :
b) Calculer \(p(A/B)\), la probabilité de l'événement \(A\) sachant que l'événement \(B\) est réalisé.
Les événements \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ?
2) Soit la variable aléatoire \(X\) qui associe à chaque tirage le nombre de boules vertes tirées.
a) Déterminer la loi de probabilité de \(X\).
b) Calculer la probabilité d'obtenir au moins deux boules vertes.
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Examen 2022}
Une urne contient trois boules blanches,
quatre boules rouges et cinq boules vertes,
indiscernables au toucher.
On tire au hasard et simultanément trois boules de l'urne.
1) On considère les événements suivants :
\[
A:\ \text{« Obtenir exactement deux boules rouges »}
\]
\[
B:\ \text{« Obtenir exactement une boule verte »}
\]
a) Montrer que :
\[
p(A)=\frac{12}{55}
\qquad\text{et}\qquad
p(B)=\frac{21}{44}
\]
b) Calculer $p(A/B)$.
Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
2) Soit la variable aléatoire $X$ qui associe à chaque tirage
le nombre de boules vertes tirées.
a) Déterminer la loi de probabilité de $X$.
b) Calculer la probabilité d'obtenir au moins deux boules vertes.
Un sac \(U_1\) contient deux jetons portant le nombre \(1\) et quatre jetons portant le nombre \(2\) (les jetons sont indiscernables au toucher), un autre sac \(U_2\) contient trois boules rouges et quatre boules vertes (les boules sont aussi indiscernables au toucher).
On tire au hasard un jeton du sac \(U_1\).
1. Calculer la probabilité de chacun des deux événements suivants :
2. On considère dans cette question l'expérience aléatoire suivante :
On tire un jeton du sac \(U_1\) et on note le nombre qu'il porte :
- Si ce nombre est \(1\), on tire une boule du sac \(U_2\).
- Si ce nombre est \(2\), on tire simultanément deux boules du sac \(U_2\).
Soit \(n\) le nombre de boules rouges tirées du sac \(U_2\), et \(E_n\) l'événement : « tirer exactement \(n\) boules rouges ».
a) Montrer que :
b) Calculer la probabilité de l'événement \(A\) sachant que l'événement \(E_1\) est réalisé.
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Examen 2004 — Rattrapage}
Un sac $U_1$ contient deux jetons portant le nombre $1$
et quatre jetons portant le nombre $2$
(les jetons sont indiscernables au toucher),
un autre sac $U_2$ contient trois boules rouges et quatre
boules vertes.
On tire au hasard un jeton du sac $U_1$.
1. Calculer la probabilité de chacun des deux événements suivants :
\[
A:\ \text{« le jeton tiré porte le nombre }1\text{ »}
\]
\[
B:\ \text{« le jeton tiré porte le nombre }2\text{ »}
\]
2. On considère dans cette question l'expérience aléatoire suivante :
On tire un jeton du sac $U_1$ et on note le nombre qu'il porte :
- Si ce nombre est $1$, on tire une boule du sac $U_2$.
- Si ce nombre est $2$, on tire simultanément deux boules du sac $U_2$.
Soit $n$ le nombre de boules rouges tirées du sac $U_2$,
et $E_n$ l'événement :
« tirer exactement $n$ boules rouges ».
a) Montrer que :
\[
p(E_1)=\frac{11}{21}
\qquad\text{et}\qquad
p(E_2)=\frac{2}{21}
\]
b) Calculer la probabilité de l'événement $A$
sachant que l'événement $E_1$ est réalisé.
Un sac \(U_1\) contient cinq jetons : trois jetons portent le nombre \(2\) et deux jetons portent le nombre \(3\).
Un autre sac \(U_2\) contient cinq jetons : trois jetons blancs et deux jetons rouges (les jetons sont indiscernables au toucher).
On tire au hasard un jeton du sac \(U_1\) et on note le nombre qu'il porte puis on tire aléatoirement et simultanément \(n\) jetons du sac \(U_2\), où \(n\) est le nombre que porte le jeton tiré du sac \(U_1\).
Soit \(X\) la variable aléatoire qui est égale au nombre de jetons rouges tirés.
1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire \(X\).
2. Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire \(X\).
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Examen 2006 — Rattrapage}
Un sac $U_1$ contient cinq jetons :
trois jetons portent le nombre $2$
et deux jetons portent le nombre $3$.
Un autre sac $U_2$ contient cinq jetons :
trois jetons blancs et deux jetons rouges
(les jetons sont indiscernables au toucher).
On tire au hasard un jeton du sac $U_1$ et on note le nombre
qu'il porte puis on tire aléatoirement et simultanément $n$ jetons
du sac $U_2$, où $n$ est le nombre que porte le jeton tiré du sac $U_1$.
Soit $X$ la variable aléatoire qui est égale au nombre de jetons
rouges tirés.
1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
2. Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.