Définition : Le tableau suivant regroupe quelques primitives usuelles à connaître et à utiliser pour déterminer une primitive d'une fonction.
| Fonction \(f\) | Une primitive de \(f\) |
|---|---|
| \(f(x)=0\) | \(F(x)=c\) |
| \(f(x)=a,\quad (a\in\mathbb{R})\) | \(F(x)=ax+c\) |
| \(f(x)=x\) | \(F(x)=\dfrac{1}{2}x^2+c\) |
| \(f(x)=x^n,\quad (n\in\mathbb{Z}\setminus\{-1\})\) | \(F(x)=\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+c\) |
| \(f(x)=x^r,\quad (r\in\mathbb{R}\setminus\{-1\})\) | \(F(x)=\dfrac{1}{r+1}x^{r+1}+c\) |
| \(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) | \(F(x)=2\sqrt{x}+c\) |
| \(f(x)=\sin(x)\) | \(F(x)=-\cos(x)+c\) |
| \(f(x)=\sin(ax+b),\quad a\neq0\) | \(F(x)=-\dfrac{1}{a}\cos(ax+b)+c\) |
| \(f(x)=\cos(x)\) | \(F(x)=\sin(x)+c\) |
| \(f(x)=\cos(ax+b),\quad a\neq0\) | \(F(x)=\dfrac{1}{a}\sin(ax+b)+c\) |
| \(f(x)=1+\tan^2(x)=\dfrac{1}{\cos^2(x)}\) | \(F(x)=\tan(x)+c\) |
| \(f(x)=\dfrac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}}\) | \(F(x)=2\sqrt{f(x)}+c\) |
| \(f(x)=\dfrac{1}{x^2}\) | \(F(x)=-\dfrac{1}{x}+c\) |
💡 Remarque : \(c\in\mathbb{R}\) est une constante réelle.
Déterminez une primitive de la fonction \(f\) proposée sur l'intervalle \(I\) donné :
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\begin{exercice}
Déterminez une primitive de la fonction $f$ proposée sur l'intervalle $I$ donné :
1) $f(x)=x^2-5x+\frac{1}{x}$ sur $]0,+\infty[$
2) $f(x)=\frac{x^2+x+1}{x}$ sur $]0,+\infty[$
3) $f(x)=\frac{7}{x}+\frac{5}{\sqrt{x}}+\frac{1}{x^2}$ sur $]0,+\infty[$
4) $f(x)=\frac{3}{3x-4}$ sur $\left[\frac43,+\infty\right[$
5) $f(x)=\frac{1}{x+1}$ sur $]-1,+\infty[$
6) $f(x)=\frac{1}{x+1}$ sur $]-\infty,-1[$
7) $f(x)=\frac{2x}{x^2-4}$ sur $]2,+\infty[$
8) $f(x)=\frac{1}{3x-5}$ sur $[2,+\infty[$
9) $f(x)=\frac{x+1}{x^2+2x+2}$ sur $\mathbb{R}$
10) $f(x)=\frac{x}{x^2-1}$ sur $]-1,1[$
\end{exercice}
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\begin{exercice}
Usage des tableaux de primitives usuelles
1) $f(x)=2x+1$
2) $f(x)=10x^4+6x^3-1$
3) $f(x)=(x-1)(x+3)$
5) $f(x)=-\frac{4}{3x^5}$
6) $f(x)=x+\frac{1}{\sqrt{x}}$
7) $f(x)=\sin x-2\cos x$
\end{exercice}
Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0,+\infty[\) par :
Déterminer la primitive \(F\) de \(f\) sur \(]0,+\infty[\) qui s'annule pour \(x=1\).
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\begin{exercice}
Soit $f$ la fonction définie sur $]0,+\infty[$ par
\[
f(x)=3x-1+\frac{2}{x^2}.
\]
Déterminer la primitive $F$ de $f$ sur $]0,+\infty[$
qui s'annule pour $x=1$.
\end{exercice}
Trouver la primitive \(F\) de \(f\) sur \(I\) vérifiant la condition donnée :
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\begin{exercice}
Trouver la primitive $F$ de $f$ sur $I$ vérifiant la condition donnée :
1) $f(x)=1-x+x^2-x^3$, $I=\mathbb{R}$, $F(1)=0$
2) $f(x)=x+\frac{1}{x^2}-\frac{1}{\sqrt{x}}$,
$I=]0,+\infty[$, $F(1)=1$
\end{exercice}
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\begin{exercice}
Forme $u'u^n$
1) $f(x)=3(3x+1)^4$
2) $f(x)=16(4x-1)^3$
3) $f(x)=(2x+7)^6$
5) $f(x)=\frac{1}{x^2}
\left(1+\frac{1}{x}\right)^4$
6) $f(x)=\sin x\cos x$
\end{exercice}
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\begin{exercice}
Forme $\frac{u'}{u^2}$
1) $f(x)=\frac{4}{(1+4x)^2}$
2) $f(x)=\frac{6}{(2x+1)^2}$
3) $f(x)=\frac{1}{(4x+3)^2}$
5) $f(x)=\frac{2}{(4-3x)^2}$
6) $f(x)=\frac{2x+1}{(x^2+x+1)^2}$
7) $f(x)=\frac{4x-10}{(x^2-5x+6)^2}$
\end{exercice}
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\begin{exercice}
Forme $\frac{u'}{\sqrt{u}}$
1) $f(x)=\frac{3}{\sqrt{3x+2}}$
2) $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2-5x}}$
3) $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2x-3}}$
4) $f(x)=\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}$
5) $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$
6) $f(x)=\frac{\cos x}{\sqrt{2+\sin x}}$
\end{exercice}
Déterminez une primitive sur \(\mathbb{R}\) de la fonction \(f\) donnée :
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\begin{exercice}
Déterminez une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f$ donnée :
1) $f(x)=\frac14e^x$
2) $f(x)=e^{-x}$
3) $f(x)=e^{2x+3}$
4) $f(x)=xe^{x^2}$
5) $f(x)=\frac{e^x}{e^x+1}$
\end{exercice}
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
Déterminez les nombres \(a\) et \(b\) tels que la fonction \(F\) définie sur \(\mathbb{R}\), par
soit une primitive de \(f\).
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\begin{exercice}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par
\[
f(x)=(x+2)e^x.
\]
Déterminez les nombres $a$ et $b$ tels que la fonction $F$
définie sur $\mathbb{R}$, par
\[
F(x)=(ax+b)e^x
\]
soit une primitive de $f$.
\end{exercice}