1) Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation :
2) Dans le plan complexe \((O;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})\), on considère les points \(A,B,C\) d'affixes respectives :
a) Montrer que :
puis en déduire que le triangle \(ABC\) est isocèle et rectangle en \(B\).
b) Écrire \(4(1-i)\) sous forme trigonométrique.
c) Montrer que :
puis en déduire que :
d) Soit \(z\) l'affixe du point \(M\) du plan et \(z'\) l'affixe du point \(M'\), image de \(M\) par la rotation de centre \(B\) et d'angle \(\frac{3\pi}{2}\).
Montrer que :
puis vérifier que l'affixe du point \(C'\), image du point \(C\) par la rotation \(R\), est \(9-3i\).
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\textbf{Exercice 1 — Examen 2011}
1) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation :
\[
Z^2-18Z+82=0
\]
2) Dans le plan complexe
$(O;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})$,
on considère les points $A,B,C$ d'affixes respectives :
\[
a=9+i,\qquad b=9-i,\qquad c=11-i
\]
a) Montrer que :
\[
\frac{c-b}{a-b}=-i
\]
puis en déduire que le triangle $ABC$
est isocèle et rectangle en $B$.
b) Écrire $4(1-i)$ sous forme trigonométrique.
c) Montrer que :
\[
(c-a)(c-b)=4(1-i)
\]
puis en déduire que :
\[
AC\times BC=4\sqrt{2}
\]
d) Soit $z$ l'affixe du point $M$
et $z'$ l'affixe du point $M'$,
image de $M$ par la rotation de centre $B$
et d'angle $\frac{3\pi}{2}$.
Montrer que :
\[
z'=-iz+10+8i
\]
puis vérifier que l'affixe du point $C'$
est $9-3i$.
1) Résoudre dans l'ensemble \(\mathbb{C}\) des nombres complexes l'équation :
2) Dans le plan complexe \((O,\vec{u},\vec{v})\), on considère les points \(A,B,C,D\) d'affixes respectives :
a) Vérifier que :
b) En déduire que les points \(A,C,D\) sont alignés.
3) On considère \(z\) l'affixe d'un point \(M\) et \(z'\) l'affixe de \(M'\), image de \(M\) par la rotation \(R\) de centre \(O\) et d'angle \(-\frac{\pi}{3}\).
Vérifier que :
4) Soient \(H\) l'image du point \(B\) par la rotation \(R\), \(h\) son affixe et \(P\) le point d'affixe \(p\) tel que :
a) Vérifier que :
b) Montrer que le triangle \(OHP\) est rectangle et isocèle en \(O\).
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\textbf{Exercice 2 — Examen 2019}
1) Résoudre dans $\mathbb{C}$ :
\[
z^2-2z+4=0
\]
2) Dans le plan complexe $(O,\vec{u},\vec{v})$,
on considère les points $A,B,C,D$ d'affixes :
\[
a=1-i\sqrt{3},\quad
b=2+2i,\quad
c=\sqrt{3}+i,\quad
d=-2+2\sqrt{3}
\]
a) Vérifier :
\[
a-d=-\sqrt{3}(c-d)
\]
b) En déduire que $A,C,D$ sont alignés.
3) Rotation de centre $O$ et d'angle $-\frac{\pi}{3}$ :
\[
z'=\frac12az
\]
4) $p=a-c$.
a) Vérifier :
\[
h=ip
\]
b) Montrer que le triangle $OHP$
est rectangle et isocèle en $O$.
On considère les nombres complexes \(a\) et \(b\) tels que :
1.a) Vérifier que :
b) En déduire que :
c) Déduire :
2) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec{u},\vec{v})\).
On considère les points \(A,B\) d'affixes respectives \(a,b\) et le point \(C\) d'affixe :
a) Vérifier que :
et en déduire que \(OA=OC\) et que :
b) Montrer que le point \(B\) est l'image du point \(A\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{OC}\).
c) En déduire que le quadrilatère \(OABC\) est un carré.
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\textbf{Exercice 3 — Examen 2017}
$a=\sqrt{3}+i$
$b=\sqrt{3}-1+(\sqrt{3}+1)i$
1.a) Vérifier :
\[
b=(1+i)a
\]
b) En déduire :
\[
|b|=2\sqrt{2}
\]
et
\[
\arg(b)\equiv\frac{5\pi}{12}[2\pi]
\]
c) Déduire :
\[
\cos\frac{5\pi}{12}
=
\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}
\]
2) On considère :
\[
c=-1+i\sqrt3
\]
a) Vérifier :
\[
c=ia
\]
b) Montrer que $B$ est l'image de $A$
par la translation de vecteur $\overrightarrow{OC}$.
c) En déduire que $OABC$ est un carré.
1) Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation :
2) Dans le plan complexe \((O,\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2})\), on considère les points \(\Omega,A,B\) d'affixes :
a) Soit \(u\) le nombre complexe tel que :
Vérifier que \(u=3+3i\), puis montrer que :
b) Déterminer un argument du nombre complexe \(\overline{u}\).
c) Vérifier que \(a-\omega=\overline{u}\) puis en déduire que :
et
d) On considère la rotation \(R\) de centre \(\Omega\) et d'angle \(\frac{\pi}{2}\). Déterminer l'image du point \(A\) par la rotation \(R\).
📖 Corrigé
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\textbf{Exercice 4 — Examen 2016}
1) Résoudre :
\[
z^2-4z+29=0
\]
2)
\[
\omega=2+5i,\quad a=5+2i,\quad b=5+8i
\]
a)
\[
u=b-\omega
\]
Vérifier :
\[
u=3+3i
\]
puis :
\[
\arg(u)\equiv\frac{\pi}{4}[2\pi]
\]
b) Déterminer un argument de $\bar u$.
c) Vérifier :
\[
a-\omega=\bar u
\]
puis :
\[
\Omega A=\Omega B
\]
et :
\[
\arg\left(\frac{b-\omega}{a-\omega}\right)
\equiv\frac{\pi}{2}[2\pi]
\]
d) Rotation de centre $\Omega$
et d'angle $\frac{\pi}{2}$.
Déterminer l'image de $A$.
Dans le plan \((O,\vec u,\vec v)\), on considère le point \(A\) d'affixe :
le point \(B\) d'affixe :
et la translation \(t\) de vecteur \(\overrightarrow{OA}\).
1) Prouver que l'affixe du point \(D\), image du point \(B\) par la translation \(t\), est :
2) On considère la rotation \(R\) de centre \(D\) et d'angle \(\frac{2\pi}{3}\).
Montrer que l'affixe du point \(C\), image du point \(B\) par la rotation \(R\), est :
3.a) Écrire le nombre \(\frac{b-c}{a-c}\) sous forme trigonométrique.
b) En déduire :
4) Soient \((\Gamma)\) le cercle de centre \(D\) et de rayon \(2\), et \((\Gamma')\) le cercle de centre \(O\) et de rayon \(4\).
Soit \(M\) un point d'affixe \(z\) appartenant aux deux cercles.
a) Vérifier que :
b) Prouver que :
c) En déduire que les cercles se coupent en un point unique qu'on déterminera.
📖 Corrigé
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\textbf{Exercice 5 — Examen 2022}
$a=-1-i\sqrt3,\qquad b=-1+i\sqrt3$
1) Prouver :
\[
d=-2
\]
2) Rotation de centre $D$ et d'angle :
\[
\frac{2\pi}{3}
\]
Montrer :
\[
c=-4
\]
3.a) Écrire :
\[
\frac{b-c}{a-c}
\]
sous forme trigonométrique.
b) En déduire :
\[
\left(\frac{b-c}{a-c}\right)^2
=
\frac{c-d}{b-d}
\]
4.a)
\[
|z+2|=2
\]
b)
\[
z+\bar z=-8
\]
c) Déterminer le point d'intersection unique.
Dans le plan \((O,\vec u,\vec v)\), on considère \(A\) et \(B\) d'affixes respectives :
1) Vérifier que :
2.a) Montrer que :
puis vérifier que :
b) En déduire une forme trigonométrique du complexe \(b\), puis vérifier que \(b^{24}\) est un nombre réel.
3) Soit \(R\) la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\frac{\pi}{6}\).
On pose \(R(B)=B'\), \(R(A)=A'\) et \(R(A')=A''\).
a) Vérifier que :
et que :
b) Montrer que l'affixe de \(A''\) est :
et en déduire que les points \(O,A''\) et \(B\) sont alignés.
c) Montrer que l'affixe \(b'\) du point \(B'\) vérifie :
d) En déduire que le triangle \(OAB'\) est rectangle en \(O\).
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Exercice 6 — Examen 2024}
\[
a=\sqrt3(1-i),
\qquad
b=2+\sqrt3+i
\]
1)
\[
|a|=\sqrt6
\]
et
\[
\arg(a)\equiv-\frac{\pi}{4}[2\pi]
\]
2.a)
\[
\frac ba=
\frac{3+\sqrt3}{6}
+
\left(\frac{1+\sqrt3}{2}\right)i
\]
puis :
\[
\frac ba=
\frac{3+\sqrt3}{3}e^{i\frac{\pi}{3}}
\]
b) Déduire une forme trigonométrique de $b$
et vérifier que $b^{24}$ est réel.
3) Rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{6}$.
a)
\[
z'=\frac12(\sqrt3+i)z
\]
et
\[
\arg(a')\equiv-\frac{\pi}{12}[2\pi]
\]
b)
\[
a''=\sqrt6e^{i\frac{\pi}{12}}
\]
c)
\[
b'=
\left(\frac{3+\sqrt3}{3}\right)\bar a
\]
d) En déduire que $OAB'$ est rectangle en $O$.