Trouver la forme algébrique et déterminer les parties réelle et imaginaire des nombres complexes suivants :
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\begin{exercice}
Trouver la forme algébrique et déterminer les parties
réelle et imaginaire des nombres complexes suivants :
\[
\begin{aligned}
z_1&=(2+i)(-1+i)
&
z_2&=(1+2i)^2
\\
z_3&=\frac{1-3i}{3-i}
&
z_4&=\frac{1+i}{3-2i}
\end{aligned}
\]
\end{exercice}
Soient dans le plan complexe les points :
Montrer que les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\begin{exercice}
Soient dans le plan complexe les points :
\[
A(i),\qquad
B\left(\frac12+2i\right),\qquad
C(-1-i)
\]
Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
\end{exercice}
Soient dans le plan complexe les points :
1) Déterminer les affixes des points \(A\), \(B\) et \(C\).
2) Déterminer l'affixe du vecteur \(\overrightarrow{AB}\).
3) Déterminer l'affixe de \(I\), milieu de \([AB]\).
4) Montrer que les points \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés.
5) Déterminer l'affixe du point \(D\) pour que \(ABCD\) soit un parallélogramme.
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\begin{exercice}
Soient dans le plan complexe les points :
\[
A(2;-3),\qquad B(1;1),\qquad C(1;2)
\]
1) Déterminer les affixes des points $A$, $B$ et $C$.
2) Déterminer l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
3) Déterminer l'affixe de $I$, milieu de $[AB]$.
4) Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
5) Déterminer l'affixe du point $D$ pour que $ABCD$
soit un parallélogramme.
\end{exercice}
Soient dans le plan complexe les points \(A,B,C,D,E\) d'affixes respectivement :
1) Représenter ces points dans le plan complexe.
2) Déterminer l'affixe de \(I\), milieu de \([AB]\).
3) Déterminer l'affixe du vecteur \(\overrightarrow{AB}\).
4) Montrer que le quadrilatère \(ABCD\) est un parallélogramme.
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\begin{exercice}
Soient dans le plan complexe les points $A,B,C,D,E$ d'affixes
respectivement :
\[
z_A=1+i,\quad
z_B=3+2i,\quad
z_C=2-i,\quad
z_D=-2i,\quad
z_E=2.
\]
1) Représenter ces points dans le plan complexe.
2) Déterminer l'affixe de $I$ milieu de $[AB]$.
3) Déterminer l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
4) Montrer que le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme.
\end{exercice}
\(z\in\mathbb{C}\). Écrire en fonction de \(\bar z\) le conjugué des nombres complexes suivants :
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\begin{exercice}
$z\in\mathbb{C}$.
Écrire en fonction de $\bar z$ le conjugué des nombres complexes
suivants :
1) $Z_1=(2+i)(5-i)$
2) $Z_2=2z+5i$
3) $Z_3=\frac{z-1}{-3z+i}$
\end{exercice}
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) les équations suivantes :
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\begin{exercice}
Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes :
1) $2z+i\bar z=5-4i$
2) $z=2\bar z-2+6i$
3) $2z-3\bar z+1+2i=0$
4) $z+(1-i)\bar z+3-2i=0$
5) $(3+i)z+\bar z=-i$
\end{exercice}
A) Déterminer les modules des complexes suivants :
B) Déterminer leurs modules puis écrire sous la forme algébrique les complexes suivants :
📖 Corrigé
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\begin{exercice}
A) Déterminer les modules des complexes suivants :
1) $z_1=3+\sqrt3 i$
2) $z_2=\frac12-\sqrt3 i$
3) $z_3=1+i$
B) Déterminer leurs modules puis écrire sous la forme algébrique
les complexes suivants :
1) $u_1=\frac{2+5i}{1+3i}$
2) $u_2=\frac{1+i}{i-3\sqrt2}$
3) $u_3=(2-\sqrt3 i)(\sqrt2+i)$
\end{exercice}
Déterminer l'ensemble des points \(M\) d'affixe \(z\) tels que :
📖 Corrigé
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\begin{exercice}
Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que :
a) $|z-1-2i|=|z-7+2i|$
b) $|z-3+i|=5$
c) $|z-4-5i|=|z+2|$
\end{exercice}
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé \((O;\vec u;\vec v)\).
On considère les points \(A,B,C,D,E,F\) qui ont pour affixes :
1) Représenter les points \(A,B,C,D,E,F\) dans le plan complexe.
2) En utilisant la représentation, déterminer l'argument des complexes :
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\begin{exercice}
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé
$(O;\vec u;\vec v)$.
On considère les points $A,B,C,D,E,F$ qui ont pour affixes :
\[
z_A=2,\quad z_B=-2i,\quad z_C=2+2i,
\]
\[
z_D=3i,\quad z_E=-3,\quad z_F=-2+2i.
\]
1) Représenter les points $A,B,C,D,E,F$
dans le plan complexe.
2) En utilisant la représentation, déterminer l'argument
des complexes :
\[
z_A,\quad z_B,\quad z_C,\quad z_D,\quad z_E,\quad z_F.
\]
\end{exercice}
Donner la forme trigonométrique du nombre complexe \(z\) dans les cas suivants :
📖 Corrigé
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\begin{exercice}
Donner la forme trigonométrique du nombre complexe $z$
dans les cas suivants :
1) $z_1=\sqrt3+i$
2) $z_2=1-i$
3) $z_3=-\frac{\sqrt3}{2}+\frac12i$
4) $z_4=-1-\sqrt3i$
5) $z=7$
6) $z=-12$
\end{exercice}
On considère les nombres complexes :
1) Écrire les nombres complexes \(z_1\), \(z_2\) et \(Z\) sous leurs formes trigonométriques.
2) Écrire le complexe \(Z\) sous sa forme algébrique puis en déduire :
📖 Corrigé
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\begin{exercice}
On considère les nombres complexes :
\[
z_1=\sqrt3-i,
\qquad
z_2=1-i,
\qquad
Z=\frac{z_1}{z_2}.
\]
1) Écrire les nombres complexes $z_1$, $z_2$ et $Z$
sous leurs formes trigonométriques.
2) Écrire le complexe $Z$ sous sa forme algébrique
puis en déduire :
\[
\cos\frac{\pi}{12}
\qquad\text{et}\qquad
\sin\frac{\pi}{12}.
\]
\end{exercice}