1ère Bac Sciences Mathématiques
Soit \(f\) une fonction numérique et \(D_f\) son domaine de définition et soit \(I\) un intervalle inclus dans \(D_f\).
Écrire en utilisant les quantificateurs puis donner la négation de chacune des propositions suivantes :
– \(f\) croissante sur \(I\).
– \(f\) strictement croissante sur \(I\).
– Il existe \(M\in\mathbb{R}\) pour tout \(x\in D_f\), \(f(x)\leq M\).
– \(f\) s'annule en un seul point de \(D_f\).
– \(f\) est positive sur \(D_f\).
– \(f\) est une fonction paire.
– \(f\) est une fonction impaire.
– Pour tout réel \(x\), il existe un unique entier relatif \(n\) inférieur ou égal à \(x\) et le successeur de \(n\) supérieur strictement à \(x\).
Donner la valeur de vérité des propositions suivantes :
\( \left(\forall x\in\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{3}{2}\right\}\right) \left(\forall y\in\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{3}{2}\right\}\right) \left( \frac{5x+4}{2x-3} = \frac{5y+4}{2y-3} \Rightarrow x=y \right) \)
\( \left(\forall(x,y)\in \left]-\infty;\frac{3}{2}\right[^2\right) \left( x<y \Rightarrow \frac{5x+4}{2x-3} < \frac{5y+4}{2y-3} \right) \)
\( (\forall x\in\mathbb{R})(\forall y\in\mathbb{R}) \left( x^2-3x+5 = y^2-3y+5 \Rightarrow x=y \right) \)
\( \left(\forall(x,y)\in \left]-\infty;\frac{3}{2}\right]^2\right) \left( x<y \Rightarrow x^2-3x+5 < y^2-3y+5 \right) \)
\( (\forall n\in\mathbb{N}), \quad n^2+n+41\text{ est premier} \)
\( (\forall n\in\mathbb{N}), \quad 2n^2+11\text{ est premier} \)
Soit \(n_0\in\mathbb{N}\) et \(A\) une partie de \(\mathbb{N}\) qui vérifie les deux propriétés suivantes :
\[ n_0\in A \] \[ (\forall n\in\mathbb{N}), \quad (n\in A\Rightarrow n+1\in A) \]Déterminer \(A\) (justifier).
Montrer pour tous les nombres réels \(a,b,c\) que :
\[ a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac \]Soient \(a\) et \(b\) deux réels strictement positifs.
1) Mettre dans l'ordre croissant les réels suivants :
\[ \min(a;b), \quad \frac{a+b}{2}, \quad \frac{2ab}{a+b}, \quad \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}, \quad \max(a;b), \quad \sqrt{ab} \]2) Montrer que :
\[ 2< \frac{11a+6b}{5a+3b} <3 \]Soient \(a,b\) et \(c\) des réels strictement positifs.
\[ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2} \]Résoudre les inéquations suivantes :
\[ \frac{x^2-x-1}{x+2}<3 \] \[ \left|\frac{x+2}{x+1}\right|\leq2 \]On veut montrer que pour tous \(a\) et \(b\) de \(\mathbb{N}^*\) :
\[ \left| \frac{a}{b}-\frac{1}{\sqrt{2}} \right| \geq \frac{1}{4b^2} \]Pour cela :
1) Montrer que
\[ \left| \frac{a}{b}-\frac{1}{\sqrt{2}} \right| < \frac{1}{4b^2} \Rightarrow \left| \frac{a}{b}+\frac{1}{\sqrt{2}} \right| <2 \]2) Déduire que
\[ |2a^2-b^2|<1 \]et puis \(\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}\).
3) Conclure.
Soient \(a\) et \(b\) deux réels.
\[ \left(\forall\varepsilon\in\mathbb{R}_+^*\right) \left(|a-b|<\varepsilon\right) \Rightarrow (a=b) \]1) Montrer que
\[ \forall x\in[0;1], \quad 0\leq x(1-x)\leq\frac14 \]2) Déduire que
\[ \forall(a;b;c)\in[0;1]^3, \quad \operatorname{Min} \left( a(1-b); b(1-c); c(1-a) \right) \leq\frac14 \]Montrer que si le carré d'un entier \(n\) est divisible par \(3\) alors \(n\) est divisible par \(3\).
Soit \(n\in\mathbb{N}^*\) et soient \((a_i)_{1\leq i\leq n}\) \(n\) réels strictement positifs.
Montrer que :
\[ \forall n\in\mathbb{N}^*, \quad (a_1+a_2+\cdots+a_n) \left( \frac1{a_1} +\frac1{a_2} +\cdots +\frac1{a_n} \right) \geq n^2 \]Déduire que :
\[ \forall n\in\mathbb{N}^*, \quad 1+\frac12+\cdots+\frac1n \geq \frac{2n}{n+1} \]Soit \(a\) un réel tel que \(a\neq1\). Montrer que :
\[ (\forall n\in\mathbb{N}), \quad 1+a+a^2+a^3+\cdots+a^n = \frac{1-a^{n+1}}{1-a} \]