Définition 1 :
Une proposition est une phrase soit vraie, soit fausse, pas les deux en même temps.
On note souvent une proposition par les lettres \(P,Q\) ou \(R\).
I. Valeur de vérité d'une proposition :
• Si la proposition est vraie on note \(\mathrm{V}\) ou \(1\).
• Si la proposition est fausse on note \(\mathbf{F}\) ou \(0\).
\(P:\quad\)" \(2+3=6\) " \(\quad\) proposition est fausse.
\(Q:\quad\)" \(3+3=6\) " \(\quad\) proposition est vraie.
\textbf{Exemples:}
P: " $2+3=6$ " proposition est fausse.
q: " 3+3=6 " proposition est vraie.
Définition :
On appelle une fonction propositionnelle, tout énoncé contenant une variable \(x\) ou plusieurs variables \((x,y,z,\ldots)\) et qui appartiennent à des ensembles déterminés.
On note :
Soit \(P(x)\quad "x\in\mathbb{R};\quad3x^2-2x-1=0"\) \(\quad(P(x)\) s'appelle une fonction propositionnelle\().
1- Donner une valeur \(a_1\) qui vérifie \(P(a_1)\) est fausse.
2- Donner une valeur \(a_2\) qui vérifie \(P(a_2)\) est vraie.
3- Que pouvez-vous dire de la proposition \(Q\) "pour tout \(x\) dans \(\mathbb{R}\) on a \(3x^2-2x-1=0\)" ?
4- Que pouvez-vous dire de la proposition \(R\) "il existe au moins \(x\) dans \(\mathbb{R}\) tel que \(3x^2-2x-1=0\)" ?
\textbf{Exemple : 1}
Soit $P(x) \quad" x \in \mathbb{R} ; 3x^{2}-2x-1=0 "$
1- donner une valeur $a_{1}$ qui vérifie $P(a_{1})$ est fausse.
2- donner une valeur $a_{2}$ qui vérifie $P(a_{2})$ est vraie.
3- Que pouvez-vous dire de la proposition $Q$
" pour tout $x$ dans $\mathbb{R}$ on a; $3x^{2}-2x-1=0$ "
4- Que pouvez-vous dire de la proposition $R$
" il existe au moins $x$ dans $\mathbb{R}$ tel que ; $3x^{2}-2x-1=0$ "
Soit \(P(x)\quad "x\in\mathbb{R};\quad2x-1=0"\) \(\quad(P(x)\) s'appelle une fonction propositionnelle\().
1- Donner une valeur \(a_1\) qui vérifie \(P(a_1)\) est fausse.
2- Donner une valeur \(a_2\) qui vérifie \(P(a_2)\) est vraie.
3- Que pouvez-vous dire de la proposition \(Q\) "pour tout \(x\) dans \(\mathbb{R}\) on a ; \(2x-1=0\)" ?
4- Que pouvez-vous dire de la proposition \(R\) "il existe au moins \(x\) dans \(\mathbb{R}\) tel que ; \(2x-1=0\)" ?
\textbf{Exemple : 2}
Soit $P(x) \quad" x \in \mathbb{R} ; 2x-1=0 "$
1- donner une valeur $a_{1}$ qui vérifie $P(a_{1})$ est fausse.
2- donner une valeur $a_{2}$ qui vérifie $P(a_{2})$ est vraie.
3- Que pouvez-vous dire de la proposition $Q$
" pour tout $x$ dans $\mathbb{R}$ on a ; $2x-1=0$ "
4- Que pouvez-vous dire de la proposition $R$
" il existe au moins $x$ dans $\mathbb{R}$ tel que ; $2x-1=0$ "
Soit \(P(x)\quad "x\in\mathbb{R};\quad4x^2+x-5\leq0"\) \(\quad(P(x)\) s'appelle une fonction propositionnelle\().
1- Donner une valeur \(a_1\) qui vérifie \(P(a_1)\) est fausse.
2- Donner une valeur \(a_2\) qui vérifie \(P(a_2)\) est vraie.
Soit \(P(x)\) une fonction propositionnelle sur un ensemble \(E\) et :
3- Déterminer \(\mathcal{V}_{P(x)}\).
\textbf{Exemple 3}
Soit $P(x) \quad" x \in \mathbb{R} ; 4x^{2}+x-5 \leq 0 "$
1- donner une valeur $a_{1}$ qui vérifie $P(a_{1})$ est fausse.
2- donner une valeur $a_{2}$ qui vérifie $P(a_{2})$ est vraie.
Soit $P(x)$ une fonction propositionnelle sur un ensemble $E$
et $\mathcal{V}_{P(x)}=\{x \in E / P(x)$ est vraie $\}$
3- Déterminer $\mathcal{V}_{P(x)}$
Activité 1 :
2.1 Quantificateur universel
Soit la fonction propositionnelle :
Vérifier que :
On peut dire que : « Quel que soit \(x\in\mathbb{R}\); \(x^2+1\geq0\) ».
L'expression « Quel que soit » s'appelle le quantificateur universel et se note :
\textbf{Activité 1:}
2.1 Quantificateur universel
Soit la fonction propositionnelle
$P(x): " x \in \mathbb{R}; x^{2}+1 \geq 0" $
Vérifier que $\mathcal{V}_{P(x)}=\mathbb{R}$
On peut dire que:
"Quel que soit $x \in \mathbb{R}; x^{2}+1 \geq 0$"
L'expression "Quel que soit"
s'appelle le quantificateur universel et se note $\forall$
Définition 1 :
Si \(P\) est une proposition et \(Q\) est une autre proposition, nous allons définir de nouvelles propositions construites à partir de \(P\) et de \(Q\).
La proposition « \(P\) et \(Q\) » est vraie si \(P\) est vraie et \(Q\) est vraie.
La proposition « \(P\) et \(Q\) » est fausse sinon.
On résume ceci en une table de vérité :
FIGURE 1 — Table de vérité de « \(P\) et \(Q\) »
Soient les propositions :
La proposition \(P\) est vraie si \(Q\) est fausse. Donc la proposition « \(P\) et \(Q\) » est fausse.
\textbf{Exemples:}
Soient les propositions
$P(\sqrt{3}\geq1)$
et
$Q(|-\sqrt{3}|=-\sqrt{3})$
La proposition $P$ est vraie si $Q$ est fausse.
Donc la proposition "P et Q" est fausse.
Définition :
La proposition « \(P\) ou \(Q\) » est vraie si l'une (au moins) des deux propositions \(P\) ou \(Q\) est vraie.
La proposition « \(P\) ou \(Q\) » est fausse si les deux propositions \(P\) et \(Q\) sont fausses.
On reprend ceci dans la table de vérité :
Soient les propositions :
La proposition \(P\) est vraie si \(Q\) est fausse. Donc la proposition « \(P\) ou \(Q\) » est vraie.
\textbf{Exemple :}
Soient les propositions
$P(\sqrt{3}\geq1)$
et
$Q(|-\sqrt{3}|=-\sqrt{3})$
La proposition $P$ est vraie si $Q$ est fausse.
Donc la proposition "P ou Q" est vraie.
La proposition « non \(P\) » est vraie si \(P\) est fausse, et fausse si \(P\) est vraie.
On note \(\overline{P}\) la négation de la proposition \(P\).
Donner la négation :
1. \(P:\quad \forall x\in\mathbb{E}\;/\;x^2>0\)
2. \(P:\quad \exists x\in\mathbb{R}\;/\;x^2-2=0\)
3. \(P:\quad x\in[1;2[\)
4. \(P:\quad \forall n\in\mathbb{N}\;/\;\frac n2\in\mathbb{N}\)
5. \(P:\quad (\forall x\in\mathbb{R});\;-1\leq\cos x\leq1\)
6. \(P:\quad (\forall n\in\mathbb{N});(\exists m\in\mathbb{N}):n\prec m\)
7. \(P:\quad (\exists n\in\mathbb{N})\;2n+1\text{ est pair}\)
8. \(P:\quad (\forall n\in\mathbb{N});\sqrt n\in\mathbb{N}\)
9. \(P:\quad (\forall x\in\mathbb{R});(\exists y\in\mathbb{R}):y-x>0\)
\textbf{Exemple :}
Donner la négation
$P: " \forall x \in \mathbb{E} / x^2>0" $
$P: " \exists x \in \mathbb{R} / x^2-2=0" $
$P: x \in[1 ; 2[$
$P:"\forall n \in \mathbb{N}/\frac{n}{2}\in\mathbb{N}"$
$P:(\forall x\in\mathbb{R});-1\leq\cos x\leq1$
$P:(\forall n\in\mathbb{N});(\exists m\in\mathbb{N}):n\prec m$
$P:(\exists n\in\mathbb{N})2n+1$ est pair
$P:(\forall n\in\mathbb{N});\sqrt n\in\mathbb{N}$
$P:(\forall x\in\mathbb{R});(\exists y\in\mathbb{R}):y-x>0$
Donner la négation et la valeur de vérité de chacune des propositions suivantes :
1) \(P:\quad\forall x\in\mathbb{R}\;/\;x^2>0\)
2) \(P:\quad\exists x\in\mathbb{R}\;/\;x^2-2=0\)
3) \(P:\quad x\in[1;2[\)
4) \(P:\quad\forall n\in\mathbb{N}\;/\;\frac n2\in\mathbb{N}\)
5) \(P:\quad (\forall x\in\mathbb{R});\;-1\leq\cos x\leq1\)
6) \(P:\quad (\forall n\in\mathbb{N});(\exists m\in\mathbb{N}):n\prec m\)
7) \(P:\quad (\exists n\in\mathbb{N})\;2n+1\text{ est pair}\)
8) \(P:\quad (\forall n\in\mathbb{N});\sqrt n\in\mathbb{N}\)
9) \(P:\quad (\forall x\in\mathbb{R});(\exists y\in\mathbb{R}):y-x>0\)
\textbf{Exercice 1:}
Donner la négation et la valeur de vérité de chacune
des propositions suivantes
1) $P: " \forall x \in \mathbb{R} / x^2>0" $
2) $P: " \exists x \in \mathbb{R} / x^2-2=0 "$
3) $P: x \in[1 ; 2[$
4) $P: " \forall n \in \mathbb{N} / \frac{n}{2} \in \mathbb{N} "$
5) $P:(\forall x \in \mathbb{R}) ;-1 \leq \cos x \leq 1$
6) $P:(\forall n \in \mathbb{N});(\exists m \in \mathbb{N}): n \prec m$
7) $P:(\exists n \in \mathbb{N}) 2 n+1$ est pair
8) $P:(\forall n \in \mathbb{N}) ; \sqrt{n} \in \mathbb{N}$
9) $P:(\forall x \in \mathbb{R}) ;(\exists y \in \mathbb{R}): y-x>0$
Raisonnement par équivalence :
Le raisonnement par équivalence repose sur le principe suivant : pour montrer que \(P\) est vraie, on montre que \(P \Leftrightarrow Q\) est vraie et \(Q\) est vraie, donc on déduit que \(P\) est vraie.
\(x \in \mathbb{R}\) et \(y \in \mathbb{R}\)
Montrer que :
En utilisant le raisonnement par équivalences successives montrer que :
En utilisant le raisonnement par les équivalences successives montrer que :
En utilisant le raisonnement par les équivalences successives montrer que :
En utilisant le raisonnement par équivalences successives montrer que :
1) Déterminer la valeur de vérité des propositions suivantes :
2) On considère la proposition suivante :
a) Donner la négation de \(T\).
b) Déterminer la valeur de vérité de la proposition \(T\).
En utilisant le raisonnement par équivalences successives montrer que :
En utilisant le raisonnement par équivalences successives montrer que :
Définition :
Lorsqu'on utilise plusieurs cas dans une démonstration, le raisonnement utilisé s'appelle raisonnement par disjonction des cas.
Résoudre l'équation suivante dans \(\mathbb{R}\) :
Montrer que pour tout \(x\in\mathbb{R}\) :
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'inéquation :
Montrer que \(n(n+1)(n+2)\) est un multiple de \(3\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Utiliser le raisonnement par disjonction de cas et montrer que :
a) si \(n\) est non divisible par \(3\), alors \(n^2-1\) est divisible par \(3\).
b) Déduire que le nombre \(ab(a^2-b^2)\) est divisible par \(3\) pour tous \(a\) et \(b\) de \(\mathbb{N}\).
(Cas par cas) Montrer que pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(n(n+1)\) est divisible par \(2\) (distinguer les \(n\) pairs des \(n\) impairs).
Donner la négation et la valeur de vérité de chacune des propositions suivantes :
1. Montrer que :
pour tout réel \(x\neq4\).
2. Montrer que :
pour tous réels \(a\) et \(b\) distincts de \(-1\).
3. Montrer que :
4.1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes :
Principe de récurrence :
Soit \(P(n)\) une fonction propositionnelle sur \(\mathbb{N}\).
• S'il existe \(n_0\) tel que \(P(n_0)\) est vraie.
• Et si pour tout \(n\geq n_0\) on a \(P(n)\Rightarrow P(n+1)\).
Alors on peut conclure que :
est vraie.
En pratique, pour montrer que \(\left(\forall n\geq n_0\right)P(n)\) est vraie, on suit les étapes suivantes :
• On montre que \(P(n_0)\) est vraie.
• On suppose que \(P(n)\) est vraie (ça s'appelle l'hypothèse de récurrence : HR).
• On montre que \(P(n+1)\) est vraie.
Montrer par récurrence les assertions suivantes :
Montrer par récurrence que pour tout \(n\in\mathbb{N}^{*}\) :
En utilisant le raisonnement par récurrence, montrer que :
Raisonnement par l'absurde :
Si on veut montrer qu'une proposition \(P\) est vraie, on suppose que c'est sa négation \(\overline{P}\) qui est vraie et on montre que cela entraîne une proposition fausse.
On en conclut que \(P\) est vraie puisque \(Q\) est fausse : l'implication \(\overline{P}\Rightarrow Q\) ne peut être vraie que si \(\overline{P}\) est fausse, ou encore si \(P\) est vraie.
Le raisonnement par l'absurde repose sur le principe suivant : pour montrer « \(P\Rightarrow Q\) », on suppose à la fois que \(P\) est vraie et que \(Q\) est fausse et on cherche une contradiction.
Ainsi, si \(P\) est vraie alors \(Q\) doit être vraie et donc « \(P\Rightarrow Q\) » est vraie.
Soit \(f\) une fonction numérique définie sur \(\mathbb{R}\) telle que pour tout \((x;y)\in(\mathbb{R}^{*})^2\) :
On suppose que \(f(1)\neq0\).
1. Montrer que :
2. Montrer par l'absurde que :
1. Soit \(a\in\mathbb{R}\) tel que :
\(1
Montrer que :
2. Montrer que :
3. Soit \(f\) une fonction strictement croissante
sur un intervalle \(I\) et soient \(a\) et \(b\) deux éléments de \(I\),
tels que :
Montrer que \(a=b\).
4. Montrer que :
5. Montrer que :
6. Montrer que :
7. Montrer que :
8. Démontrer :
Si l'on veut montrer qu'une proposition du type \(\forall x\in E:P(x)\) est vraie, alors pour chaque \(x\) de \(E\), il faut montrer que \(P(x)\) est vraie.
Par contre, pour montrer que cette proposition est fausse, alors il suffit de trouver \(x\in E\) tel que \(P(x)\) soit fausse.
Trouver un tel \(x\), c'est trouver un contre-exemple à la proposition \(\forall x\in E:P(x)\).
Montrer que la proposition
est fausse.
Montrer que la proposition
est fausse.
Montrer que la proposition
est fausse.
1. Soit \(a,b,c\) et \(d\) des nombres réels. Montrer que la proposition
est une proposition fausse.
2. Montrer que les propositions suivantes sont fausses :
1) Écrire la négation des propositions suivantes :
2) Étudier la vérité des propositions \(P\), \(Q\) et \(R\).
\textbf{Exercice 1 : Logique}
1) Écrire la négation des propositions suivantes :
\[
P:\quad
(\forall x\in\mathbb{R}),
\qquad
(x^2\in\mathbb{Q}\Rightarrow x\in\mathbb{Q})
\]
\[
Q:\quad
(\forall y\in\mathbb{R})(\exists x\in\mathbb{R})
:\quad 2x+3y<1
\]
\[
R:\quad
(\exists n\in\mathbb{Z})
:\quad n-1<\frac{n}{n-1}\leq n
\]
2) Étudier la vérité des propositions \(P\), \(Q\) et \(R\).
Donner la valeur de vérité des propositions suivantes :
\( \left(\forall x\in\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{3}{2}\right\}\right) \left(\forall y\in\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{3}{2}\right\}\right) \left( \frac{5x+4}{2x-3} = \frac{5y+4}{2y-3} \Rightarrow x=y \right) \)
\( \left(\forall(x,y)\in \left]-\infty;\frac{3}{2}\right[^2\right) \left( x<y \Rightarrow \frac{5x+4}{2x-3} < \frac{5y+4}{2y-3} \right) \)
\( (\forall x\in\mathbb{R})(\forall y\in\mathbb{R}) \left( x^2-3x+5 = y^2-3y+5 \Rightarrow x=y \right) \)
\( \left(\forall(x,y)\in \left]-\infty;\frac{3}{2}\right]^2\right) \left( x<y \Rightarrow x^2-3x+5 < y^2-3y+5 \right) \)
\( (\forall n\in\mathbb{N}), \quad n^2+n+41\text{ est premier} \)
\( (\forall n\in\mathbb{N}), \quad 2n^2+11\text{ est premier} \)
Soit \(n_0\in\mathbb{N}\) et \(A\) une partie de \(\mathbb{N}\) qui vérifie les deux propriétés suivantes :
Déterminer \(A\) (justifier).
\textbf{Exercice 3 :}
Soit \(n_0\in\mathbb{N}\) et \(A\) une partie de \(\mathbb{N}\)
qui vérifie les deux propriétés suivantes :
\[
n_0\in A
\]
\[
(\forall n\in\mathbb{N}),
\qquad
(n\in A\Rightarrow n+1\in A)
\]
Déterminer \(A\) (justifier).
Montrer pour tous les nombres réels \(a,b,c\) que :
\textbf{Exercice 4 :}
Montrer pour tous les nombres réels \(a,b,c\) que :
\[
a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac
\]
1) Montrer que :
2) Montrer que :
\begin{exercice}
1) Montrer que :
\[
\forall(a,b)\in\mathbb{R}^2,
\qquad
a^2+b^2=0
\Rightarrow
a=0\text{ et }b=0
\]
2) Montrer que :
\[
\forall x\in[2,+\infty[
\quad
\forall y\in]0,+\infty[,
\]
\[
x-2\sqrt{x-2}+y-2\sqrt{y}=0
\Rightarrow
x=3\text{ et }y=1
\]
\end{exercice}
Soient \(a,b\) et \(c\) des réels strictement positifs.
\textbf{Exercice 6 :}
Soient \(a,b\) et \(c\) des réels strictement positifs.
\[
\frac{a}{b+c}
+
\frac{b}{a+c}
+
\frac{c}{a+b}
\geq
\frac{3}{2}
\]
1
a- Montrer que :
b- Montrer que :
c- Déduire que :
\begin{exercice}
\begin{enumerate}
\item Montrer que
\[
\forall n\in\mathbb{N},
\qquad
3\mid n
\Longleftrightarrow
3\mid n^2.
\]
\item Montrer que
\[
\sqrt{3}\notin\mathbb{Q}.
\]
\item Déduire que
\[
\forall n,m\in\mathbb{Z},
\qquad
n+m\sqrt{3}=0
\Longrightarrow
n=m=0.
\]
\end{enumerate}
\end{exercice}
On veut montrer que pour tous \(a\) et \(b\) de \(\mathbb{N}^*\) :
Pour cela :
1) Montrer que
2) Déduire que
et puis \(\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}\).
3) Conclure.
\begin{exercice}
On veut montrer que pour tous \(a\) et \(b\) de
\(\mathbb{N}^*\) :
\[
\left|
\frac{a}{b}-\frac{1}{\sqrt{2}}
\right|
\geq
\frac{1}{4b^2}
\]
Pour cela :
\[
\left|
\frac{a}{b}-\frac{1}{\sqrt{2}}
\right|
<
\frac{1}{4b^2}
\Rightarrow
\left|
\frac{a}{b}+\frac{1}{\sqrt{2}}
\right|
<2
\]
\[
|2a^2-b^2|<1
\]
et puis \(\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}\).
\end{exercice}
Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on pose :
1) Montrer que :
2) Montrer par l'absurde que :
\textbf{Exercice 9 :}
Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on pose :
\[
P(n)=n^2+7n+12
\]
1) Montrer que :
\[
(\forall n\in\mathbb{N}),
\qquad
(n+3)^2
Soient \(a\) et \(b\) deux réels.
\begin{exercice}
Soient \(a\) et \(b\) deux réels.
\[
\left(\forall\varepsilon\in\mathbb{R}_+^*\right)
\left(|a-b|<\varepsilon\right)
\Rightarrow
(a=b)
\]
\end{exercice}
1) Montrer que
2) Déduire que
Montrer que :
\textbf{Exercice 11 :}
Montrer que :
\[
(\forall x\in\mathbb{R}),
\qquad
|x|\leq1
\Rightarrow
\left|
\frac{x+\sin(x)}
{x^7+x-3}
\right|
\leq2
\]
\begin{exercice}
Montrer que :
\[
\forall n\in\mathbb{N},
\quad
64\mid
\left(3^{2n+2}-8n-9\right)
\]
\end{exercice}
Montrer que si le carré d’un entier \(n\) est divisible par \(3\), alors \(n\) est divisible par \(3\).
\textbf{Exercice 14 :}
Montrer que si le carré d’un entier \(n\) est divisible par \(3\),
alors \(n\) est divisible par \(3\).
\begin{exercice}
\[
\text{Montrer que }
(\forall n\in\mathbb{N}^*),
\quad
1^3+2^3+3^3+\cdots+(2n-1)^3
=
4n^4-4n^3+n^2
\]
\[
\text{Montrer que }
(\forall n\in\mathbb{N}^*),
\quad
\sum_{k=1}^{n}
\frac{1}{4k^2-1}
=
\frac{n}{2n+1}
\]
\end{exercice}
Soit \(n\in\mathbb{N}^*\) et soient \((a_i)_{1\leq i\leq n}\) \(n\) réels strictement positifs.
Montrer que :
Déduire que :
\begin{exercice}
Soit \(n\in\mathbb{N}^*\) et soient
\((a_i)_{1\leq i\leq n}\) \(n\) réels strictement positifs.
Montrer que :
\[
\forall n\in\mathbb{N}^*,
\quad
(a_1+a_2+\cdots+a_n)
\left(
\frac1{a_1}
+\frac1{a_2}
+\cdots
+\frac1{a_n}
\right)
\geq n^2
\]
Déduire que :
\[
\forall n\in\mathbb{N}^*,
\quad
1+\frac12+\cdots+\frac1n
\geq
\frac{2n}{n+1}
\]
\end{exercice}
\begin{exercice}
\[
\text{Nous voulons montrer que }
\quad
\forall n\in\mathbb{N}^*,
\quad
\frac1{1^2}
+\frac1{2^2}
+\cdots
+\frac1{n^2}
\leq2
\]
\[
\text{Prouvons d'abord que }
\quad
\forall n\in\mathbb{N}^*,
\quad
\frac1{1^2}
+\frac1{2^2}
+\cdots
+\frac1{n^2}
<
2-\frac1n
\]
\end{exercice}
Soit \(a\) un réel tel que \(a\neq1\). Montrer que :
\begin{exercice}
Soit \(a\) un réel tel que \(a\neq1\).
Montrer que :
\[
(\forall n\in\mathbb{N}),
\quad
1+a+a^2+a^3+\cdots+a^n
=
\frac{1-a^{n+1}}{1-a}
\]
\end{exercice}