- Un ensemble \(E\) est une collection ou un groupement d'objets distincts ; ces objets s'appellent les éléments de cet ensemble.
- Si \(x\) est élément d'un ensemble \(E\), on dit que \(x\) appartient à \(E\) et on écrit : \[ x\in E. \]
- \(\emptyset\) est l'ensemble qui ne contient aucun élément, on peut le définir comme suite :
- Un ensemble peut être défini :
• En extension, c'est-à-dire en donnant la liste de ses éléments entre accolades.
Par exemple :
• En compréhension, c'est-à-dire par une propriété caractérisant ses éléments.
Par exemple :
1. Écrire les ensembles suivants en compréhension :
2. Écrire les ensembles suivants en extension :
On dit que deux ensembles \(E\) et \(F\) sont égaux s'ils ont exactement les mêmes éléments ; on écrit \(E=F\).
Exemple :
Soient \(E\) et \(F\) deux ensembles quelconques. \(E\) est dit inclus dans \(F\) si tout élément de \(E\) est un élément de \(F\).
On dit aussi que \(E\) est un sous-ensemble de \(F\) ou encore que \(E\) est une partie de \(F\).
Remarque :
Ou bien :
Exemple :
Soit \(E=\{1,2,3\}\), déterminer tous les ensembles inclus dans \(E\).
Soient les ensembles :
1. Donner le diagramme de Venn de \(A\) et \(E\).
Soit \(E\) un ensemble, les partie de \(E\), constituent un ensemble qui s'appelle ensemble des partie de \(E\) et se note \(\mathcal{P}(E)\).
Les éléments de \(\mathscr{P}(E)\) sont des ensembles.
En particulier, on a :
Si \(E\) est un ensemble non vide, alors :
Écrire en extension \(\mathscr{P}(E)\) tel que :
1) \[ E=\{2\}. \]
2) \[ E=\{\varnothing\}. \]
3) \[ E=\{1,2\}. \]
4) \[ E=\{\{1,2\}\}. \]
Soit \(A\) une partie de \(E\), le complémentaire de \(A\) est l'ensemble constitué par tous les éléments de \(E\) qui n'appartiennent pas à \(A\), on le note \(\bar A\) ou \(C_EA\).
Soient \(A\) et \(B\) deux parties d'un ensemble \(E\); l'intersection de \(A\) et \(B\) est l'ensemble constitué par les éléments qui appartiennent à la fois à \(A\) et à \(B\).
On le note \(A\cap B\).
Remarque :
Soient \(A\) et \(B\) deux parties d'un ensemble \(E\); la réunion de \(A\) et \(B\) est l'ensemble constitué par les éléments qui appartiennent à \(A\) ou à \(B\).
On le note \(A\cup B\).
Remarque :
Soient \(A\) et \(B\) deux parties d'un ensemble \(E\); la différence de \(A\) et \(B\) est l'ensemble constitué par les éléments qui appartiennent à \(A\) et qui n'appartiennent pas à \(B\).
On le note \(A\backslash B\) ou \(A-B\).
Remarque :
\(A\) et \(B\) sont deux ensembles. La différence symétrique de \(A\) et \(B\) est l'ensemble noté \(A\triangle B\) tel que :
Donc :
Remarque :
\(A\), \(B\) et \(C\) sont trois ensembles.
\(\cup\) est commutative :
\(\cup\) est associative :
\(\cup\) est distributive sur \(\cap\) :
Loi de Morgan :
1) Déterminer en extension les ensembles suivants :
2) On considère les deux ensembles suivants :
Montrer que \(E=F\).
3) On pose :
Montrer que \(G\cap H=\varnothing\).
4) On pose :
1) Montrer que \(I\in]0,1[\).
2) Résoudre dans \(\mathbb{N}\) l'équation :
3) Est-ce que \(I=]0,1[\) ?
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Exercice 1}
1) déterminer en extension les ensembles suivants
\[
\begin{aligned}
&A=\left\{x \in \mathbb{R} / 1<\frac{x-2}{2 x+1} \leq 3\right\}\\
&B=\left\{x \in|-\pi, \pi| / x=\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{3} ; k \in Z\right\}\\
&C=\left\{n \in \mathbb{N} / \frac{n+1}{3} \in \mathbb{N}\right\}\\
&D=\left\{t \in \mathbb{N} / \frac{t^2+3 t+7}{t+2} \in \mathbb{N}\right\}
\end{aligned}
\]
2) On considère les deux ensembles suivants :
\[
E=\left\{x \in \mathbb{R} / \frac{3 x+3}{3 x+2} \in \mathbb{Z}\right\}
\]
\[
F=\left\{x \in \mathbb{R} / \frac{1}{3 x+2} \in \mathbb{Z}\right\}
\]
montrer que $E=F$.
3) On pose
\[
G=\left\{\frac{\pi}{6}+\frac{k \pi}{4} / k \in \mathbb{Z}\right\}
\]
\[
H=\left\{\frac{\pi}{3}+\frac{3 k \pi}{4} / k \in \mathbb{Z}\right\}
\]
montrer que $G \cap H=\varnothing$.
4) On pose
\[
I=\left\{\sqrt{n^2+1}-n / n \in \mathbb{N}\right\}
\]
1) Montrer que $I\in]0,1[$.
2) Résoudre dans $\mathbb{N}$ l'équation :
\[
\sqrt{n^2+1}-n=\frac{1}{2}
\]
3) Est-ce que $I=]0,1[$ ?
Soit \(E\) un ensemble tel que
1) Montrer que \(3\in E\) et \(1\notin E\).
2) Montrer que \(E\subset]2,+\infty[\).
3) Montrer que :
4) Déduire que \(E=]2,+\infty[\).
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Exercice 2}
Soit $E$ un ensemble tel que
\[
E=\left\{\frac{x}{\sqrt{x-1}} / x\in]1;+\infty[\right\}
\]
1) Montrer que $3\in E$ et $1\notin E$.
2) Montrer que $E\subset]2;+\infty[$.
3) Montrer que :
\[
(\forall y\in]2;+\infty|)
(\exists x\in]1;+\infty|):
\quad
y=\frac{x}{\sqrt{x-1}}
\]
4) Déduire que :
\[
E=]2;+\infty[
\]
On considère les ensembles suivants :
1) Montrer que \(16\in A\).
2) Montrer que
et
3) Déterminer :
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Exercice 3}
On considère les ensembles suivants :
\[
A=\left\{\frac{k+10}{k-5}\in\mathbb{Z} / k\in\mathbb{N}\right\}
\]
et
\[
B=\left\{x\in\mathbb{Z} /
\frac{4x^2-4x+10}{2x-1}\in\mathbb{Z}\right\}
\]
1) Montrer que $16\in A$.
2) Montrer que
\[
A=\{-14;-4;-2;2;4;6;16\}
\]
et
\[
B=\{-4;-1;0;1;2;5\}.
\]
3) Déterminer :
\[
A\cap B,\quad
A\cup B,\quad
A\backslash B,\quad
A\triangle B.
\]
I) Montrer que
II) Déterminer en extension l'ensemble suivant :
III) On considère les deux ensembles suivants :
1) Montrer que \(E\neq\varnothing\).
2) Montrer que \(F\subset E\).
3.a) Déterminer \(x\) tel que \((x;1)\in E\).
b) Est-ce que \(E\subset F\) ? Justifier la réponse.
4) Déterminer \(G\) tel que
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Exercice 4}
I) Montrer que :
\[
x^2-2y^2+xy=(x-y)(x+2y)
\]
II) Déterminer en extension l'ensemble suivant :
\[
A=\left\{(x;y)\in\mathbb{Z}^2 /
x^2-2y^2+xy+5=0\right\}
\]
III) On considère :
\[
E=\left\{(x;y)\in\mathbb{R}^2 /
x^2-2y^2+xy=0\right\}
\]
et
\[
F=\left\{(x;y)\in\mathbb{R}^2 /
x-y=0\right\}
\]
1) Montrer que $E\neq\varnothing$.
2) Montrer que $F\subset E$.
3) a) Déterminer $x$ tel que $(x;1)\in E$.
b) Est-ce que $E\subset F$ ? Justifier la réponse.
4) Déterminer $G$ tel que :
\[
F\cup G=E
\]
et
\[
F\cap G=\{(0;0)\}.
\]
I) On pose :
1) Montrer que \(E\neq\varnothing\).
2) Soit \(u\in E\). Montrer que \[ \frac1u\in E \qquad\text{et}\qquad u^2\in E. \]
3) Montrer que :
II) Soient \(n\) et \(m\) deux éléments dans \(\mathbb{Z}\).
1) Montrer que \(n+m\) et \(n-m\) ont la même parité.
2) Déterminer en extension l'ensemble suivant :
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Exercice 5}
I) On pose :
\[
E=\left\{a+b\sqrt{2}/(a;b)\in\mathbb{Z}^2\right\}
\]
1) Montrer que $E\neq\varnothing$.
2) Soit $u\in E$. Montrer que $\frac{1}{u}\in E$ et $u^2\in E$.
3) Montrer que :
\[
(\forall n\in\mathbb{N})\quad u^n\in E.
\]
II) Soient $n$ et $m$ deux éléments dans $\mathbb{Z}$.
1) Montrer que $n+m$ et $n-m$ ont la même parité.
2) Déterminer en extension l'ensemble suivant :
\[
F=\left\{(x;y)\in\mathbb{Z}^2/x^2-y^2=12\right\}
\]
Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois parties d'un ensemble \(E\). Montrer que :
1)
2)
3)
4)
5)
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Exercice 6}
Soient $A, B$ et $C$ trois parties d'un ensemble $E$.
Montrer que :
1)
\[
A\cap(B\backslash C)=(A\cap B)\backslash C
\]
2)
\[
A\backslash(B\cup C)=(A\backslash B)\cap(A\backslash C)
\]
3)
\[
(A\backslash B)\backslash C=(A\backslash B)\cap(A\backslash C)
\]
4)
\[
[A\cap B=A\cap C
\text{ et }
B\backslash A=C\backslash A]
\Rightarrow B=C
\]
5)
\[
[(B\backslash C)\subset A
\text{ et }
(C\backslash D)\subset A]
\Rightarrow(B\backslash D)\subset A.
\]
Soient \(A\) et \(B\) deux ensembles non vide.
1) Démontrer que :
2) Montrer que :
3.a) Montrer que :
b) A-t-on :
4) A-t-on :
Justifier.
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Exercice 7}
Soient $A$ et $B$ deux ensembles non vide.
1) Démontrer que :
\[
A\subset B
\Leftrightarrow
\mathcal{P}(A)\subset\mathcal{P}(B)
\]
2) Montrer que :
\[
\mathcal{P}(A\cap B)
=
\mathcal{P}(A)\cap\mathcal{P}(B)
\]
3) a) Montrer que :
\[
\mathcal{P}(A)\cup\mathcal{P}(B)
\subset
\mathcal{P}(A\cup B)
\]
b) A-t-on :
\[
\mathcal{P}(A)\cup\mathcal{P}(B)
=
\mathcal{P}(A\cup B)?
\]
4) A-t-on :
\[
\mathcal{P}(A\times B)
=
\mathcal{P}(A)\times\mathcal{P}(B)?
\]
Justifier.
Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois parties d'un ensembles \(E\). Établir les égalités suivantes :
1)
2)
3)
4)
5)
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Exercice 8}
Soient $A, B$ et $C$ trois parties d'un ensembles $E$.
Établir les égalités suivantes :
1)
\[
(A\cup B)\times C=(A\times C)\cup(B\times C)
\]
2)
\[
(A\backslash B)\times C=(A\times C)\backslash(B\times C)
\]
3)
\[
(A\cap B)\times C=(A\times C)\cap(B\times C)
\]
4)
\[
C_{E\times E}^{A\times B}
=
\left(C_E^A\times E\right)
\cup
\left(E\times C_E^B\right)
\]
5)
\[
\left\{
\begin{array}{l}
A\cap B=A\cap C\\
A\cup B=A\cup C
\end{array}
\right.
\Rightarrow B=C.
\]