1ère Bac Sciences Mathématiques
On considère l'application \(f\) définie par :
\[ f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} \] \[ x\longmapsto f(x)=2x^2-x-1 \]1) Calculer \(f^{-1}(\{0\})\).
2) Est-ce que \(f\) est injective ? Justifier.
3) Montrer que :
\[ (\forall x\in\mathbb{R}), \quad f(x)\geq-\frac{9}{8} \]4) Est-ce que \(f\) est surjective ? Justifier votre réponse.
5) Déterminer \(f^{-1}([0;2])\).
6) On considère l'application \(g\) définie par :
\[ g: \left[\frac14;+\infty\right[ \longrightarrow \left[-\frac98;+\infty\right[ \] \[ x\longmapsto g(x)=2x^2-x-1 \]Montrer que \(g\) est bijective et déterminer \(g^{-1}(x)\) pour tout \(x\in\left[-\frac98;+\infty\right[\).
On considère l'application :
\[ f:[-2;+\infty[ \longrightarrow \mathbb{R} \] \[ x\longmapsto f(x)=x+1-2\sqrt{x+2} \]1) Montrer que :
\[ (\forall x\in[-2;+\infty[), \quad f(x)= \left(\sqrt{x+2}-1\right)^2-2 \]2)
a) Déterminer \(f^{-1}(\{-1\})\).
b) L'application \(f\) est-elle injective ? Justifier votre réponse.
3)
a) Montrer que :
\[ f([-2;+\infty[)=[-2;+\infty[ \]b) L'application \(f\) est-elle surjective ? Justifier votre réponse.
4) On considère dans ce cas \(f=g\circ h\) avec \(g\) et \(h\) deux applications définies par :
\[ g:[1;+\infty[ \longrightarrow [-2;+\infty[ \] \[ x\longmapsto g(x)=x^2-2x-1 \] \[ h:[-1;+\infty[ \longrightarrow [1;+\infty[ \] \[ x\longmapsto h(x)=\sqrt{x+2} \]a) Vérifier que :
\[ (\forall x\in[-1;+\infty[), \quad f(x)=g\circ h(x) \]b) Montrer que \(g\) est bijective puis déterminer sa bijection réciproque \(g^{-1}\).
c) Montrer que \(h\) est bijective puis déterminer sa bijection réciproque \(h^{-1}\).
d) En déduire que \(g\circ h\) est bijective puis déterminer sa bijection réciproque \(f^{-1}\).
On pose \(I=]0;+\infty[\) et on considère l'application \(f\) définie par :
\[ f:I\times I\longrightarrow I\times I \] \[ (x;y) \longmapsto f(x;y)= \left(xy;\frac{x}{y}\right) \]1) Montrer que \(f\) est injective et surjective.
2) En déduire que \(f\) est une bijection et déterminer sa bijection réciproque \(f^{-1}\).
On considère l'application \(f\) définie par :
\[ f:\mathbb{R}^{+}\longrightarrow\mathbb{R} \] \[ x\longmapsto f(x)=x-\sqrt{x} \]1) Montrer que \(f\) n'est pas injective.
2)
a) Résoudre dans \(\mathbb{R}^{+}\) l'équation :
\[ f(x)=-1 \]b) Que peut-on conclure ?
3) Soit \(g\) la restriction de \(f\) sur \(\left[\frac14;+\infty\right[\).
Montrer que \(g\) est bijective de \(\left[\frac14;+\infty\right[\) vers un intervalle à préciser, puis déterminer son application réciproque \(g^{-1}\).
Soit \(A\) une partie d'un ensemble non vide \(E\). On considère les applications :
\[ f:\mathcal{P}(E)\longrightarrow\mathcal{P}(E) \] \[ X\longmapsto f(X)=\overline{X} \] \[ g:\mathcal{P}(E)\longrightarrow\mathcal{P}(E) \] \[ X\longmapsto g(X)=A\cap X \] \[ h:\mathcal{P}(E)\longrightarrow\mathcal{P}(E) \] \[ X\longmapsto h(X)=A\cup X \]1) Montrer que \(f\) est bijective puis déterminer sa bijection réciproque \(f^{-1}\).
2)
a) Déterminer \(g(E)\), \(g(A)\) et \(g(\overline{A})\).
b) L'application \(g\) est-elle bijective ? Justifier.
3) Montrer que :
\[ h\text{ est injective} \Longleftrightarrow A=\varnothing \]Soit \(f\) l'application définie par :
\[ f:[2;+\infty[ \longrightarrow \mathbb{R} \] \[ x\longmapsto f(x)=\frac{x^2}{1-x} \]1) Soient \(x\) et \(y\) de l'intervalle \([2;+\infty[\).
a) Montrer que :
\[ (x-1)(y-1)=1 \Rightarrow x=2 \text{ et } y=2 \]b) Montrer que \(f\) est injective.
2)
a) Montrer que :
\[ (\forall x\in]2;+\infty[), \quad f(x)<-4 \]b) \(f\) est-elle surjective ?
3) Soit \(g\) l'application définie par :
\[ g:[2;+\infty[ \longrightarrow ]-\infty;-4] \] \[ x\longmapsto g(x)=f(x)=\frac{x^2}{1-x} \]a) Montrer que \(g\) est bijective. Déterminer \(g^{-1}(x)\) pour tout \(x\in]-\infty;-4[\).
b) Soit \(a\in]-\infty;-4[\). Calculer en fonction de \(a\) :
\[ \frac{\left(g^{-1}(a)\right)^2} {1-g^{-1}(a)} \]Soit \(E\), \(F\) et \(G\) trois ensembles non vides. Soit \(f\) une application de \(E\) vers \(F\) et \(g\) une application de \(F\) vers \(G\).
1) Montrer que si \(g\circ f\) est injective, alors \(f\) est injective.
2) Montrer que si \(g\circ f\) est injective et \(f\) surjective alors \(g\) est injective.
3) Montrer que si \(g\circ f\) est surjective, alors \(g\) est surjective.
4) Montrer que si \(g\circ f\) est surjective et \(g\) est injective alors \(f\) est surjective.
1) Montrer que :
\[ (\forall x\in\mathbb{R}), \quad x-\sqrt{x^2+1}<0 \]2) En déduire que :
\[ (\forall(x;y)\in\mathbb{R}^2), \quad x+y-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{y^2+1}<0 \]3) On considère l'application \(f\) définie par :
\[ f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} \] \[ x\longmapsto \sqrt{1+x^2}-x \]a) Montrer que \(f\) est injective.
b) Est-ce que \(f\) est surjective ? Justifier.
c) Si \(f\) n'est pas surjective, déterminer l'ensemble d'arrivée pour que \(f\) soit surjective.
On considère l'application \(f\) définie par :
\[ f:\mathbb{R}\setminus\{-1\} \longrightarrow \mathbb{R} \] \[ x\longmapsto \frac{x^2+2x}{x^2+2x+1} \]1) Montrer que :
\[ (\forall x\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}), \quad f(x)<1 \]2) Montrer que \(f\) est non surjective.
3) Montrer que :
\[ (\forall x\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}), \quad f(x)=f(-2-x) \]Est-ce que \(f\) est injective ?
4) Soit \(g\) l'application définie par :
\[ g:]-1;+\infty[ \longrightarrow \mathbb{R} \] \[ x\longmapsto f(x) \]Montrer que \(g\) est une bijection de \(]-1;+\infty[\) vers un intervalle \(J\) que l'on précisera.
Puis déterminer \(g^{-1}\), l'application réciproque de \(f\).
5) Calculer :
\[ A= \frac{ \left(g^{-1}(x)\right)^2 +2g^{-1}(x) }{ \left(g^{-1}(x)\right)^2 +2g^{-1}(x) +1 } \]