2ème Bac Sciences
Soit \(f\) la fonction définie sur \([-2;+\infty[\) par :
\[ f(x)= \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x+2}-2}{|x-2|} & \text{si }x\neq2 \\[8pt] \dfrac14 & \text{si }x=2 \end{cases} \]Étudier la continuité de la fonction \(f\) à gauche et à droite au point \(x_0=2\).
Déterminer les réels \(a\) et \(b\) pour lesquels la fonction \(f\) définie par :
\[ f(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2+x-a}{x-1} & \text{si }x<1 \\[8pt] x^2+b & \text{si }x\geq1 \end{cases} \]soit continue en \(1\).
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[ f(x)= \begin{cases} \dfrac{ax^2+bx-1}{x^2-1} & \text{si }x\geq2 \\[8pt] 3x+c & \text{si }x<2 \end{cases} \]Déterminer les réels \(a,b,c\) pour que les conditions suivantes soient vérifiées :
✓ \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=2\) et \(\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to3}f(x)\)
✓ \(f\) continue en \(x_0=2\).
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[ f(x)= \begin{cases} \dfrac{3x^2+2x-1}{x^2-1} & \text{si }x<-1 \\[8pt] 5x^2+x-2 & \text{si }x\geq-1 \end{cases} \]Montrer que la fonction \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[ f(x)= \begin{cases} a^2x+3 & \text{si }x<1 \\[8pt] \dfrac{-b^2x+8}{2x-1} & \text{si }1\leq x\leq3 \\[10pt] \dfrac25x^2-\dfrac{b^2}{5}x+ab & \text{si }x>3 \end{cases} \]où \(a\) et \(b\) sont deux réels.
Déterminer tous les couples \((a;b)\) pour lesquels la fonction \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[ f(x)=x^3-3x+1 \]Déterminer les images des intervalles suivants par \(f\) :
\[ I=]0;+\infty[ \] \[ J=]0;1[ \] \[ K=]-\infty;-1] \]On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) :
\[ f(x)= \begin{cases} 2x-3 & \text{si }x<2 \\[8pt] x^2-3 & \text{si }x\geq2 \end{cases} \]1) Justifier la continuité de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
2) Déterminer :
\[ f([-2;4]) \] \[ f(]-\infty;1]) \]Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\) par :
\[ f(x)=\frac{2x}{x-1} \]1) Dresser le tableau de variations de \(f\).
2) Déterminer l'image de chacun des intervalles suivants par la fonction \(f\) :
\[ I=]1;3] \] \[ J=]1;+\infty[ \] \[ K=\mathbb{R}^{-} \] \[ L=]-\infty;1[ \]Soit \(f\) une fonction continue sur \([0;1]\) à valeurs dans \([0;1]\).
Montrer que l'équation
\[ f(x)=x \]admet au moins une solution dans l'intervalle \([0;1]\).
1) Montrer que l'équation
\[ \sqrt{x}-x^3+2x-1=0 \]admet au moins une solution dans l'intervalle \(]0;1[\).
2) Montrer que l'équation
\[ \sin x=1-x \]admet une solution unique dans l'intervalle
\[ ]0;\frac{\pi}{6}[ \]3) Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[ f(x)=x^5+3x^3+4x-5 \]Montrer que la courbe représentative \(\mathscr{C}_f\) de \(f\) coupe l'axe des abscisses en un point unique dont l'abscisse \(\alpha\) vérifie :
\[ 0<\alpha<1 \]Dans chacun des cas suivants, montrer que l'équation admet une solution unique dans \(I\) :
1)
\[ 2x^3+3x-3=0 \] \[ I=[0;1] \]2)
\[ x^4+2x-3=0 \] \[ I= \left[\frac12;\sqrt2\right] \]3)
\[ -x^3-2x-1=0 \] \[ I=\mathbb{R} \]4)
\[ \tan x-x-1=0 \] \[ I= \left[0;\frac{\pi}{2}\right[ \]