Soit dans l'espace muni d'un repère orthonormé direct \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) les points \(A(1;-1;1)\), \(B(0;1;-2)\) et \(C(3;2;1)\) et \((S)\) la sphère d'équation :
1) Montrer que \((S)\) est de centre \(\Omega(1;0;1)\) et de rayon \(\sqrt3\).
2.a) Montrer que :
et vérifier que :
est une équation cartésienne du plan \((ABC)\).
b) Vérifier que :
puis montrer que le plan \((ABC)\) coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle \((\Gamma)\) de rayon \(1\).
3) Soit \((\Delta)\) la droite passant par \(\Omega\) et perpendiculaire au plan \((ABC)\).
a) Montrer que :
est une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\).
b) Montrer que le triplet de coordonnées de \(H\), point d'intersection du plan \((ABC)\) et de la droite \((\Delta)\), est :
c) En déduire le centre du cercle \((\Gamma)\).
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Examen 2012 — Exercice 1}
Soit dans l'espace muni d'un repère orthonormé direct
$(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ les points
$A(1;-1;1)$, $B(0;1;-2)$ et $C(3;2;1)$
et $(S)$ la sphère d'équation :
\[
x^2+y^2+z^2-2x-2z-1=0
\]
1) Montrer que $(S)$ est de centre
$\Omega(1;0;1)$ et de rayon $\sqrt3$.
2) a) Montrer que :
\[
\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}
=
\vec{i}-\vec{k}
\]
et vérifier que :
\[
x-z-2=0
\]
est une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
b) Vérifier que :
\[
d(\Omega,(ABC))=\sqrt2
\]
puis montrer que le plan $(ABC)$ coupe la sphère $(S)$
suivant un cercle $(\Gamma)$ de rayon $1$.
3) Soit $(\Delta)$ la droite passant par $\Omega$
et perpendiculaire au plan $(ABC)$.
a) Montrer que :
\[
\left\{
\begin{aligned}
x&=1+t\\
y&=0\\
z&=1-t
\end{aligned}
\right.
\qquad(t\in\mathbb R)
\]
est une représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$.
b) Montrer que le triplet de coordonnées de $H$,
point d'intersection du plan $(ABC)$ et de la droite $(\Delta)$,
est $H(2;0;0)$.
c) En déduire le centre du cercle $(\Gamma)$.
Soit dans l'espace muni d'un repère orthonormé direct \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) les points \(A(-1,1,0)\), \(B(1,0,1)\) et \(\Omega(1,1,-1)\).
On considère la sphère \((S)\) de centre \(\Omega\) et de rayon \(R=3\).
1.a) Montrer que :
et vérifier que :
est une équation cartésienne du plan \((OAB)\).
b) Vérifier que :
puis montrer que \((OAB)\) coupe \((S)\) suivant un cercle \((\Gamma)\) de rayon \(\sqrt6\).
2) Soit \((\Delta)\) la droite passant par \(\Omega\) et perpendiculaire au plan \((OAB)\).
a) Montrer que :
est une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\).
b) Déterminer le triplet de coordonnées du centre du cercle \((\Gamma)\).
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Examen 2013 — Exercice 1}
Soit dans l'espace muni d'un repère orthonormé direct
$(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ les points
$A(-1,1,0)$, $B(1,0,1)$ et $\Omega(1,1,-1)$.
La sphère $(S)$ a pour centre $\Omega$ et rayon $R=3$.
1) a) Montrer que :
\[
\overrightarrow{OA}\wedge\overrightarrow{OB}
=
\vec{i}+\vec{j}-\vec{k}
\]
et vérifier que :
\[
x+y-z=0
\]
est une équation cartésienne du plan $(OAB)$.
b) Vérifier que :
\[
d(\Omega,(OAB))=\sqrt3
\]
puis montrer que $(OAB)$ coupe $(S)$ suivant un cercle
$(\Gamma)$ de rayon $\sqrt6$.
2) Soit $(\Delta)$ la droite passant par $\Omega$
et perpendiculaire au plan $(OAB)$.
a) Montrer que :
\[
\left\{
\begin{aligned}
x&=1+t\\
y&=1+t\\
z&=-1-t
\end{aligned}
\right.
\qquad(t\in\mathbb R)
\]
est une représentation paramétrique de $(\Delta)$.
b) Déterminer le triplet de coordonnées du centre du cercle $(\Gamma)$.
Soit dans l'espace muni d'un repère orthonormé direct \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) les points \(A(0,3,1)\), \(B(-1,3,0)\) et \(C(0,5,0)\).
On considère la sphère \((S)\) d'équation :
1.a) Montrer que :
et en déduire que \(A,B,C\) sont non alignés.
b) Montrer que :
est une équation cartésienne du plan \((ABC)\).
2.a) Montrer que \((S)\) est de centre \(\Omega(2,0,0)\) et de rayon \(3\).
b) Montrer que le plan \((ABC)\) est tangent à la sphère \((S)\).
c) Déterminer le triplet de coordonnées du point de tangence \(H\) du plan \((ABC)\) et de la sphère \((S)\).
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Examen 2014 — Exercice 1}
Soit dans l'espace muni d'un repère orthonormé direct
$(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ les points
$A(0,3,1)$, $B(-1,3,0)$ et $C(0,5,0)$.
La sphère $(S)$ a pour équation :
\[
x^2+y^2+z^2-4x-5=0
\]
1) a) Montrer que :
\[
\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}
=
2\vec{i}-\vec{j}-2\vec{k}
\]
et en déduire que $A,B,C$ sont non alignés.
b) Montrer que :
\[
2x-y-2z+5=0
\]
est une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
2) a) Montrer que $(S)$ est de centre
$\Omega(2,0,0)$ et de rayon $3$.
b) Montrer que le plan $(ABC)$ est tangent à la sphère $(S)$.
c) Déterminer le triplet de coordonnées du point de tangence $H$.
Soit dans l'espace muni d'un repère orthonormé direct \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) les points \(A(2,1,0)\), \(B(-4,1,0)\) et soit \((P)\) le plan passant par \(A\) et de vecteur normal
1) Montrer que :
est une équation cartésienne du plan \((P)\).
2) Soit \((S)\) l'ensemble des points \(M\) de l'espace qui vérifient :
Montrer que \((S)\) est une sphère de centre \(\Omega(-1,1,0)\) et de rayon \(R=3\).
3.a) Calculer la distance du point \(\Omega\) au plan \((P)\) puis déduire que \((P)\) coupe \((S)\) suivant un cercle \((C)\).
b) Montrer que le centre du cercle \((C)\) est
4) Montrer que :
puis calculer la surface du triangle \(OHB\).
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Examen 2015 — Session annulée}
Soit dans l'espace muni d'un repère orthonormé direct
$(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ les points
$A(2,1,0)$, $B(-4,1,0)$ et soit $(P)$ le plan passant
par $A$ et de vecteur normal
\[
\vec{u}=\vec{i}+\vec{j}-\vec{k}.
\]
1) Montrer que :
\[
x+y-z-3=0
\]
est une équation cartésienne du plan $(P)$.
2) Soit $(S)$ l'ensemble des points $M$ de l'espace qui vérifient :
\[
\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0.
\]
Montrer que $(S)$ est une sphère de centre
$\Omega(-1,1,0)$ et de rayon $R=3$.
3) a) Calculer la distance du point $\Omega$ au plan $(P)$
puis déduire que $(P)$ coupe $(S)$ suivant un cercle $(C)$.
b) Montrer que le centre du cercle $(C)$ est
\[
H(0;2;-1).
\]
4) Montrer que :
\[
\overrightarrow{OH}\wedge\overrightarrow{OB}
=
\vec{i}+4\vec{j}+8\vec{k}
\]
puis calculer la surface du triangle $OHB$.
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\), on considère les points
1.a) Montrer que :
b) En déduire que :
est une équation cartésienne du plan \((ABC)\).
2) Soit \((S)\) la sphère de centre \(\Omega(1,1,2)\) et de rayon \(R=\sqrt2\). Déterminer une équation de la sphère \((S)\).
3) Montrer que le plan \((ABC)\) est tangent à la sphère \((S)\) au point \(A\).
4) On considère la droite \((\Delta)\) passant par le point \(C\) et perpendiculaire au plan \((ABC)\).
a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\).
b) Montrer que la droite \((\Delta)\) est tangente à la sphère \((S)\) en un point \(D\) dont on déterminera les coordonnées.
c) Calculer le produit scalaire \(\overrightarrow{AC}\cdot(\vec{i}+\vec{k})\), puis en déduire la distance \(d(A,(\Delta))\).
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Examen 2022}
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct
$(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère les points
\[
A(0,1,1),\quad B(1,2,0),\quad C(-1,1,2).
\]
1) a) Montrer que :
\[
\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}
=
\vec{i}+\vec{k}
\]
b) En déduire que :
\[
x+z-1=0
\]
est une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
2) Soit $(S)$ la sphère de centre
$\Omega(1,1,2)$ et de rayon $R=\sqrt2$.
Déterminer une équation de la sphère $(S)$.
3) Montrer que le plan $(ABC)$ est tangent à la sphère $(S)$
au point $A$.
4) On considère la droite $(\Delta)$ passant par le point $C$
et perpendiculaire au plan $(ABC)$.
a) Déterminer une représentation paramétrique de $(\Delta)$.
b) Montrer que la droite $(\Delta)$ est tangente à la sphère $(S)$
en un point $D$ dont on déterminera les coordonnées.
c) Calculer le produit scalaire
$\overrightarrow{AC}\cdot(\vec{i}+\vec{k})$,
puis en déduire la distance $d(A,(\Delta))$.
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\), on considère les deux points
Soit \((S)\) la sphère de centre \(\Omega(3,0,-1)\) et de rayon \(R=3\), et \((\Delta)\) la droite passant par \(A\) et de vecteur directeur
1.a) Calculer la distance \(\Omega A\).
b) Montrer que les droites \((\Delta)\) et \((\Omega A)\) sont perpendiculaires.
c) Déduire la position relative de la droite \((\Delta)\) et la sphère \((S)\).
2) Soit le point \(M_a(2a-3,3-2a,a-1)\), où \(a\in\mathbb R\). Montrer que
et déduire que \(M_a\in(\Delta)\) pour tout \(a\in\mathbb R\).
3.a) Vérifier que
est une équation du plan \((P_a)\) passant par \(M_a\) et perpendiculaire à la droite \((\Delta)\).
b) Montrer que :
c) Déterminer les deux valeurs de \(a\) pour lesquelles le plan \((P_a)\) est tangent à la sphère \((S)\).
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Examen 2022 — Rattrapage}
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct
$(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère les deux points
\[
A(1,-1,1),\qquad B(5,1,-3).
\]
Soit $(S)$ la sphère de centre
$\Omega(3,0,-1)$ et de rayon $R=3$,
et $(\Delta)$ la droite passant par $A$ et de vecteur directeur
\[
\vec{u}(2,-2,1).
\]
1) a) Calculer la distance $\Omega A$.
b) Montrer que les droites $(\Delta)$ et $(\Omega A)$
sont perpendiculaires.
c) Déduire la position relative de la droite $(\Delta)$
et la sphère $(S)$.
2) Soit le point
$M_a(2a-3,3-2a,a-1)$, où $a\in\mathbb R$,
montrer que
\[
\overrightarrow{AM_a}
=
(a-2)\vec{u}
\]
et déduire que $M_a\in(\Delta)$ pour tout $a\in\mathbb R$.
3) a) Vérifier que
\[
2x-2y+z-9a+13=0
\]
est une équation du plan $(P_a)$ passant par $M_a$
et perpendiculaire à la droite $(\Delta)$.
b) Montrer que
\[
d(\Omega,(P_a))=|3a-6|
\]
c) Déterminer les deux valeurs de $a$ pour lesquelles
le plan $(P_a)$ est tangent à la sphère $(S)$.
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\), on considère les points
1.a) Montrer que :
b) En déduire l'aire du triangle \(ABC\) et la distance \(d(B,(AC))\).
2) Soit \(D\) le milieu du segment \([AC]\).
a) Vérifier que :
b) En déduire que :
3) Soit \((S)\) la sphère d'équation :
a) Déterminer le centre et le rayon de la sphère \((S)\).
b) Montrer que le plan \((ABC)\) est tangent à la sphère \((S)\) en un point que l'on déterminera.
4) Soient \((Q_1)\) et \((Q_2)\) les deux plans parallèles à \((ABC)\) tels que chacun d'eux coupe \((S)\) suivant un cercle de rayon \(\sqrt5\).
Déterminer une équation cartésienne pour chacun des deux plans \((Q_1)\) et \((Q_2)\).
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Examen 2023}
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct
$(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère les points
\[
A(0,1,4),\quad B(2,1,2),\quad C(2,5,0),\quad \Omega(3,4,4).
\]
1) a) Montrer que
\[
\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}
=
4(2\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k})
\]
b) En déduire l'aire du triangle $ABC$
et la distance $d(B,(AC))$.
2) Soit $D$ le milieu du segment $[AC]$.
a) Vérifier que
\[
\overrightarrow{D\Omega}
=
\frac14
\left(
\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}
\right)
\]
b) En déduire que
\[
d(\Omega,(ABC))=3.
\]
3) Soit $(S)$ la sphère d'équation
\[
x^2+y^2+z^2-6x-8y-8z+32=0.
\]
a) Déterminer le centre et le rayon de la sphère $(S)$.
b) Montrer que le plan $(ABC)$ est tangent à la sphère $(S)$
en un point que l'on déterminera.
4) Soient $(Q_1)$ et $(Q_2)$ les deux plans parallèles à $(ABC)$
tels que chacun d'eux coupe $(S)$ suivant un cercle de rayon $\sqrt5$.
Déterminer une équation cartésienne pour chacun des deux plans.
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\), on considère les points
On pose :
Soit \((S)\) la sphère de centre \(\Omega\) et de rayon \(R=3\).
1.a) Montrer que :
et déduire que les points \(A,B,C\) ne sont pas alignés.
b) Vérifier que :
est une équation cartésienne du plan \((ABC)\).
c) Montrer que le plan \((ABC)\) est tangent à la sphère \((S)\) au point \(A\).
2) Soient \((P)\) le plan d'équation cartésienne
et \((\Delta)\) la droite passant par le point indiqué dans l'énoncé source et orthogonale au plan \((P)\).
a) Montrer que la droite \((\Delta)\) coupe le plan \((P)\) au point
b) Déterminer les coordonnées du point \(D\) tel que le point \(H\) soit le milieu du segment \([AD]\).
3) Soit \((Q)\) le plan passant par le point \(D\) et de vecteur normal \(\overrightarrow{\Omega D}\).
a) Montrer que le plan \((Q)\) est tangent à la sphère \((S)\) en \(D\).
b) Montrer que les plans \((Q)\) et \((ABC)\) se coupent suivant la droite \((BC)\).
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Examen 2023 — Rattrapage}
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct
$(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère les points
\[
A(2,1,2),\quad
B(-2,0,5),\quad
C(4,-5,7),\quad
\Omega(1,-1,0).
\]
On pose
\[
\vec{u}=\overrightarrow{\Omega A}.
\]
Soit $(S)$ la sphère de centre $\Omega$ et de rayon $R=3$.
1) a) Montrer que
\[
\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}
=
13\vec{u}
\]
et déduire que les points $A,B,C$ ne sont pas alignés.
b) Vérifier que
\[
x+2y+2z-8=0
\]
est une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
c) Montrer que le plan $(ABC)$ est tangent à la sphère $(S)$
au point $A$.
2) Soient $(P)$ le plan d'équation cartésienne
\[
3x+4y+z+1=0
\]
et $(\Delta)$ la droite passant par le point indiqué
dans l'énoncé source et orthogonale au plan $(P)$.
a) Montrer que la droite $(\Delta)$ coupe le plan $(P)$ au point
\[
H\left(\frac12,-1,\frac32\right).
\]
b) Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que
le point $H$ soit le milieu du segment $[AD]$.
3) Soit $(Q)$ le plan passant par le point $D$
et de vecteur normal $\overrightarrow{\Omega D}$.
a) Montrer que le plan $(Q)$ est tangent à la sphère $(S)$ en $D$.
b) Montrer que les plans $(Q)$ et $(ABC)$
se coupent suivant la droite $(BC)$.