L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec{i},\vec{\jmath},\vec{k})\).
Soient \(\vec{u}(a,b,c)\) et \(\vec{v}(a',b',c')\) deux vecteurs.
• Produit scalaire :
• Norme :
• Produit vectoriel :
L'aire d'un triangle \(ABC\) est :
• Distance entre deux points \(A\) et \(B\) :
• Distance du point \(M\) au plan \((P)\) :
Pour un plan d'équation \(ax+by+cz+d=0\) :
• Distance du point \(M\) à la droite \((\Delta)\) :
\(\vec{n}(a,b,c)\) est un vecteur normal au plan \((P)\) si :
Si \[ \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} \neq \vec{0}, \] alors les points \(A,B,C\) ne sont pas alignés.
Dans ce cas, \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) est un vecteur normal au plan \(ABC\).
On a l'équivalence :
L'équation cartésienne d'une sphère de centre \(\Omega(a,b,c)\) et de rayon \(R\) est :
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\), on considère les points
1. Montrer que
et en déduire que
est une équation cartésienne du plan \((ABC)\).
On considère la sphère \((S)\) dont une équation est :
2. Vérifier que la sphère \((S)\) a pour centre \(\Omega(1,0,1)\) et pour rayon \(R=5\).
3. Vérifier que
est une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) passant par le point \(\Omega\) et orthogonale au plan \((ABC)\).
4. Déterminer les coordonnées de \(H\), point d'intersection de la droite \((\Delta)\) et du plan \((ABC)\).
5. Vérifier que \(d(\Omega,(ABC))=3\), puis montrer que le plan \((ABC)\) coupe la sphère \((S)\) selon un cercle de rayon \(4\), dont on déterminera le centre.
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Exercice 1}
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct
$(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère les points
$A(0,-2,-2), B(1,-2,-4), C(-3,-1,2)$.
1. Montrer que
\[
\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}
=
2\vec{i}+2\vec{j}+\vec{k}
\]
et en déduire que
\[
2x+2y+z+6=0
\]
est une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
On considère la sphère $(S)$ dont une équation est
\[
x^2+y^2+z^2-2x-2z-23=0.
\]
2. Vérifier que la sphère $(S)$ a pour centre
$\Omega(1,0,1)$ et pour rayon $R=5$.
3. Vérifier que
\[
\left\{
\begin{aligned}
x&=1+2t\\
y&=2t\\
z&=1+t
\end{aligned}
\right.
\qquad(t\in\mathbb{R})
\]
est une représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$
passant par le point $\Omega$ et orthogonale au plan $(ABC)$.
4. Déterminer les coordonnées de $H$, point d'intersection
de la droite $(\Delta)$ et du plan $(ABC)$.
5. Vérifier que $d(\Omega,(ABC))=3$, puis montrer que le plan
$(ABC)$ coupe la sphère $(S)$ selon un cercle de rayon $4$,
dont on déterminera le centre.
Soit \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) un repère orthonormé direct de l'espace. On considère les points :
1.a) Vérifier que :
b) En déduire que l'équation du plan \((ABC)\) est :
2. On considère les points
et
Montrer que l'ensemble \((S)\) est une sphère de centre \(\Omega(2,1,8)\) et de rayon \(R=5\).
3.a) Calculer la distance \(d(\Omega,ABC)\).
b) En déduire que \((ABC)\) coupe la sphère \(S\) selon un cercle de \(r=4\).
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Exercice 2 — Examen 2019 Rattrapage}
Soit $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ un repère orthonormé
direct de l'espace. On considère les points
$A(1,2,2), B(3,-1,6), C(1,1,3)$.
1) a) Vérifier que
\[
\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}
=
\vec{i}-2\vec{j}-2\vec{k}
\]
b) En déduire que l'équation du plan $(ABC)$ est
\[
P:x-2y-2z+7=0
\]
2) On considère les points
$E(5,1,4)$ et $F(-1,1,12)$
et
\[
S=
\{M(x,y,z);
\overrightarrow{MF}\cdot\overrightarrow{ME}=0\}.
\]
Montrer que l'ensemble $(S)$ est une sphère de centre
$\Omega(2,1,8)$ et de rayon $R=5$.
3) a) Calculer la distance $d(\Omega,ABC)$.
b) En déduire que $(ABC)$ coupe la sphère $S$
selon un cercle de $r=4$.
On considère la sphère d'équation cartésienne :
et le plan d'équation cartésienne :
1) Déterminer les coordonnées du centre de la sphère \(\Omega\), et son rayon \(R\).
2.a) Calculer la distance \(d(\Omega,P)\), puis en déduire que le plan \(P\) coupe la sphère selon un cercle \(C(H,r)\) de centre \(H\) et de rayon \(r\).
b) Déterminer le rayon du cercle \(C\).
c) Déterminer les coordonnées de \(H\).
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Exercice 3}
On considère la sphère d'équation cartésienne
\[
S:x^2+y^2+z^2-4x-2y+6z+5=0
\]
et le plan d'équation cartésienne
\[
P:2x-y+3z-2=0
\]
1) Déterminer les coordonnées du centre de la sphère
$\Omega$, et son rayon $R$.
2) a) Calculer la distance $d(\Omega,P)$, puis en déduire
que le plan $P$ coupe la sphère selon un cercle
$C(H,r)$ de centre $H$ et de rayon $r$.
b) Déterminer le rayon du cercle $C$.
c) Déterminer les coordonnées de $H$.
Soit \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) un repère orthonormé de l'espace et \(D\) la droite de représentation paramétrique :
1) Déterminer l'équation du plan passant par \(A(1,2,0)\) et orthogonal à \(D\).
2) En déduire les coordonnées du point \(A'\), le projeté orthogonal de \(A\) sur \(D\).
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Exercice 4}
Soit $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ un repère orthonormé
de l'espace et $D$ la droite de représentation paramétrique
\[
\left\{
\begin{aligned}
x&=1+t\\
y&=1-t\\
z&=2t
\end{aligned}
\right.
\]
1) Déterminer l'équation du plan passant par
$A(1,2,0)$ et orthogonal à $D$.
2) En déduire les coordonnées du point $A'$
le projeté orthogonal de $A$ sur $D$.
Déterminer les points d'intersection de la droite \((D)\) et la sphère \((S)\) dans les cas suivants :
1) On a :
et \((D)\) a pour représentation paramétrique :
2) \[ (S):\quad x^2+y^2+z^2-2x+2y-1=0 \]
et \((D)\) a pour représentation paramétrique :
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Exercice 5}
Déterminer les points d'intersection de la droite $(D)$
et la sphère $(S)$ dans les cas suivants :
1) On a
\[
(S):(x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=6
\]
et $(D)$ a pour représentation paramétrique
\[
\left\{
\begin{aligned}
x&=2+3t\\
y&=4+t\\
z&=-2+5t
\end{aligned}
\right.
\]
2)
\[
(S):x^2+y^2+z^2-2x+2y-1=0
\]
et $(D)$ a pour représentation paramétrique
\[
\left\{
\begin{aligned}
x&=-1+t\\
y&=1+2t\\
z&=2
\end{aligned}
\right.
\]