Définition : La fonction logarithme népérien, notée \(\ln\), est définie sur \(]0,+\infty[\).
Pour tout \(x>0\) :
Dérivée :
Propriétés :
Limites usuelles :
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\begin{exercice}
Simplifier les expressions suivantes.
\[
\begin{aligned}
A&=\ln(3-\sqrt3)+\ln(3+\sqrt3)\\
B&=\ln(e^3)-\ln\left(\frac{2}{e}\right)+\ln2\\
C&=3\ln2+\frac12\ln9-2\ln(2\sqrt6)
\end{aligned}
\]
\end{exercice}
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\begin{exercice}
Résolvez dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes.
1) $\ln x+\ln(3x+2)=\ln(2x+3)$
2) $\ln(x-3)+\ln(x+1)=\ln(x+7)$
3) $4(\ln x)^2-4\ln x-3=0$
\end{exercice}
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\begin{exercice}
Résolvez dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes.
1) $\ln(3-x)-\ln(x+1)\leq0$
2) $4(\ln x)^2-4\ln x-3\leq0$
\end{exercice}
Déterminer le domaine de définition de la fonction \(f\).
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\begin{exercice}
Déterminer le domaine de définition de la fonction $f$.
1) $f(x)=(\ln x-2)\sqrt{4-x}$
2) $f(x)=\sqrt{1-\ln x}$
3) $f(x)=\frac{2x}{1-\ln x}$
\end{exercice}
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\begin{exercice}
Calculer les limites suivantes.
\[
\begin{aligned}
A&=\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+3x)}{x}
&
B&=\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x+3)}{x}
\\
C&=\lim_{x\to+\infty}x\ln\left(\frac1x+1\right)
&
D&=\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x^2+4x)}{x}
\\
E&=\lim_{x\to0^+}x\ln\left(1+\frac1{x^2}\right)
&
F&=\lim_{x\to1}\frac{(x+2)\ln x}{x^2-1}
\\
G&=\lim_{x\to0^+}
x+\left(1-\frac2x\right)\ln x
&
H&=\lim_{x\to+\infty}
x+\left(1-\frac2x\right)\ln x
\end{aligned}
\]
\end{exercice}
| \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \left(\frac{6\ln x}{2x+\ln x}\right) \) | 03 | \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}(2x+\ln x) \) | 02 | \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \left(x+\frac{2}{e^x+1}\right) \) | 01 |
| \(\displaystyle \lim_{x\to0} \frac{1+2\ln 2x}{4x^2} \) | 06 | \(\displaystyle \lim_{x\to0} \left[ 3x-\frac{4}{3(e^x-1)} \right] \) | 05 | \(\displaystyle \lim_{x\to0} \left[ 3x-\frac{4}{3(e^x-1)} \right] \) | 04 |
| \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty} [-4+(4-2x)e^x] \) | 09 | \(\displaystyle \lim_{x\to-\infty} [-4+(4-2x)e^x] \) | 08 | \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{1+2\ln 2x}{4x^2} \) | 07 |
| \(\displaystyle \lim_{x\to0} \left(x-2-\frac{2\ln x}{x}\right) \) | 12 | \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{2x-2}{e^x-2x} \) | 11 | \(\displaystyle \lim_{x\to-\infty} \frac{2x-2}{e^x-2x} \) | 10 |
| \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \left( \frac{e^x-1}{x}+n\ln x \right) \) | 15 | \(\displaystyle \lim_{x\to-\infty} (x-1)e^x \) | 14 | \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \left( x-2-\frac{2\ln x}{x} \right) \) | 13 |
| \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \left[ x+1+\frac{2}{x+2}\ln(x+2) \right] \) | 18 | \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \left[ (x+2)^2+2-2\ln(x+2) \right] \) | 17 | \(\displaystyle \lim_{x\to0} \left( \frac{e^x-1}{x}+n\ln x \right) \) | 16 |
| \(\displaystyle \lim_{x\to0} \left( \frac12+\frac{2-\ln x}{x^2} \right) \) | 21 | \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x+1} \) | 20 | \(\displaystyle \lim_{x\to-2} \left[ x+1+ \frac{2}{x+2}\ln(x+2) \right] \) | 19 |
| \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \left[ \frac{-1+(x-2)\ln x}{x} \right] \) | 24 | \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \left( \frac{1-2x+\ln x}{x-1} \right) \) | 23 | \(\displaystyle \lim_{x\to0} \left( \frac{1-2x+\ln x}{x-1} \right) \) | 22 |
| \(\displaystyle \lim_{x\to0} \left( 2\ln x-1-\frac{1}{x^2} \right) \) | 27 | \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \left[ x+1+ (-x^2-2x+3)e^{1-x} \right] \) | 26 | \(\displaystyle \lim_{x\to0} \left[ \frac{-1+(x-2)\ln x}{x} \right] \) | 25 |
| \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty} [(2x+3)\ln(x+1)-3x] \) | 30 | \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty} [-x+4+(2x-3)e^x] \) | 29 | \(\displaystyle \lim_{x\to-\infty} [-x+4+(2x-3)e^x] \) | 28 |
| \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty} [1-(x-1)^2e^{-x}] \) | 33 | \(\displaystyle \lim_{x\to-\infty} [-x+(x+1)e^x] \) | 32 | \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty} [-x+(x+1)e^x] \) | 31 |
| \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \left[ x+\frac{1+2\ln(x+1)}{x+1} \right] \) | 3 |
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\begin{exercice}
Calculer les limites
1) $\displaystyle
\lim_{x\to+\infty}
\left(x+\frac{2}{e^x+1}\right)$
2) $\displaystyle
\lim_{x\to+\infty}(2x+\ln x)$
3) $\displaystyle
\lim_{x\to+\infty}
\left(\frac{6\ln x}{2x+\ln x}\right)$
4) $\displaystyle
\lim_{x\to0}
\left[3x-\frac{4}{3(e^x-1)}\right]$
5) $\displaystyle
\lim_{x\to0}
\left[3x-\frac{4}{3(e^x-1)}\right]$
6) $\displaystyle
\lim_{x\to0}
\frac{1+2\ln 2x}{4x^2}$
7) $\displaystyle
\lim_{x\to+\infty}
\frac{1+2\ln 2x}{4x^2}$
8) $\displaystyle
\lim_{x\to-\infty}
[-4+(4-2x)e^x]$
9) $\displaystyle
\lim_{x\to+\infty}
[-4+(4-2x)e^x]$
10) $\displaystyle
\lim_{x\to-\infty}
\frac{2x-2}{e^x-2x}$
11) $\displaystyle
\lim_{x\to+\infty}
\frac{2x-2}{e^x-2x}$
12) $\displaystyle
\lim_{x\to0}
\left(x-2-\frac{2\ln x}{x}\right)$
13) $\displaystyle
\lim_{x\to+\infty}
\left(x-2-\frac{2\ln x}{x}\right)$
14) $\displaystyle
\lim_{x\to-\infty}(x-1)e^x$
15) $\displaystyle
\lim_{x\to+\infty}
\left(\frac{e^x-1}{x}+n\ln x\right)$
16) $\displaystyle
\lim_{x\to0}
\left(\frac{e^x-1}{x}+n\ln x\right)$
17) $\displaystyle
\lim_{x\to+\infty}
\left[(x+2)^2+2-2\ln(x+2)\right]$
18) $\displaystyle
\lim_{x\to+\infty}
\left[x+1+\frac{2}{x+2}\ln(x+2)\right]$
19) $\displaystyle
\lim_{x\to-2}
\left[x+1+\frac{2}{x+2}\ln(x+2)\right]$
20) $\displaystyle
\lim_{x\to+\infty}
\frac{\ln x}{x+1}$
21) $\displaystyle
\lim_{x\to0}
\left(\frac12+\frac{2-\ln x}{x^2}\right)$
22) $\displaystyle
\lim_{x\to0}
\left(\frac{1-2x+\ln x}{x-1}\right)$
23) $\displaystyle
\lim_{x\to+\infty}
\left(\frac{1-2x+\ln x}{x-1}\right)$
24) $\displaystyle
\lim_{x\to+\infty}
\left[\frac{-1+(x-2)\ln x}{x}\right]$
25) $\displaystyle
\lim_{x\to0}
\left[\frac{-1+(x-2)\ln x}{x}\right]$
26) $\displaystyle
\lim_{x\to+\infty}
\left[x+1+(-x^2-2x+3)e^{1-x}\right]$
27) $\displaystyle
\lim_{x\to0}
\left(2\ln x-1-\frac{1}{x^2}\right)$
28) $\displaystyle
\lim_{x\to-\infty}
[-x+4+(2x-3)e^x]$
29) $\displaystyle
\lim_{x\to+\infty}
[-x+4+(2x-3)e^x]$
30) $\displaystyle
\lim_{x\to+\infty}
[(2x+3)\ln(x+1)-3x]$
31) $\displaystyle
\lim_{x\to+\infty}
[-x+(x+1)e^x]$
32) $\displaystyle
\lim_{x\to-\infty}
[-x+(x+1)e^x]$
33) $\displaystyle
\lim_{x\to+\infty}
[1-(x-1)^2e^{-x}]
\end{exercice}
Démontrer que la fonction \(f\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\) et explicitez \(f'(x)\).
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\begin{exercice}
Démontrer que la fonction $f$ est dérivable sur $]0,+\infty[$
et explicitez $f'(x)$.
1) $f(x)=x^2(2\ln x-1)$
2) $f(x)=\ln\sqrt{1+4x+x^2}$
3) $f(x)=\frac{x^2\ln x}{1+x}$
4) $f(x)=\frac{\ln(1+x^2)}{x}$
\end{exercice}
La fonction \(f\) définie sur \([1,+\infty[\) par :
On désigne par \((C_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j})\) du plan.
1) Montrer que \(f\) est continue sur \(I=[1,+\infty[\).
2)
a) Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(1\). Interpréter géométriquement le résultat trouvé.
b) Dresser le tableau de variation de \(f\).
3)
a) Déterminer l'intersection de \((\Delta):y=x\) et \((C_f)\).
b) Tracer \((C_f)\) et \((\Delta)\).
4)
a) Montrer que \(f\) admet une fonction réciproque \(g\) définie sur \(J=[0,+\infty[\).
b) Tracer la courbe \((C_g)\) dans le repère \((O,\vec{i},\vec{j})\).
5) On considère la suite \((u_n)\) définie par :
a) Montrer que pour tout \(n\in\mathbb{N}\) : \(0\leq u_n\leq e\).
b) Montrer que la suite \((u_n)\) est décroissante.
c) En déduire que \((u_n)\) est convergente et trouver sa limite.
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\begin{exercice}
La fonction $f$ définie sur $[1,+\infty[$ par :
\[
f(x)=x\sqrt{\ln x}.
\]
On désigne par $(C_f)$ sa courbe représentative.
1) Montrer que $f$ est continue sur $I=[1,+\infty[$.
2)
a) Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en $1$.
Interpréter géométriquement le résultat trouvé.
b) Dresser le tableau de variation de $f$.
3)
a) Déterminer l'intersection de $(\Delta):y=x$ et $(C_f)$.
b) Tracer $(C_f)$ et $(\Delta)$.
4)
a) Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $g$
définie sur $J=[0,+\infty[$.
b) Tracer la courbe $(C_g)$.
5) On considère la suite $(u_n)$ définie par :
\[
u_0=0,\qquad u_{n+1}=g(u_n).
\]
a) Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$ :
$0\leq u_n\leq e$.
b) Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
c) En déduire que $(u_n)$ est convergente et trouver sa limite.
\end{exercice}
Soit \(g\) la fonction définie sur \(]-1,+\infty[\) par :
1) Dresser le tableau de variation de \(g\).
2) Montrer que l'équation \(g(x)=0\) admet dans l'intervalle \(]-1,+\infty[\) deux solutions \(0\) et \(\alpha\), et vérifier que :
3) En déduire le signe de \(g(x)\) pour tout \(x\in]-1,+\infty[\).
4) Montrer que pour tout \(x\in]-1,+\infty[\), on a :
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\begin{exercice}
Soit $g$ la fonction définie sur $]-1,+\infty[$ par :
\[
g(x)=\frac{2x}{x+1}-\ln(1+x).
\]
1) Dresser le tableau de variation de $g$.
2) Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet dans
$]-1,+\infty[$ deux solutions $0$ et $\alpha$
et vérifier que $3,8<\alpha<4$.
3) En déduire le signe de $g(x)$.
4) Montrer que pour tout $x\in]-1,+\infty[$ :
\[
g(x)\leq1.
\]
\end{exercice}
Soit \(f\) la fonction définie sur \([0,+\infty[\) par :
On désigne par \((C_f)\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j})\) du plan.
1) Montrer que \(f\) est continue sur \([0,+\infty[\).
2) Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(0\).
3) Montrer que pour tout \(x>0\) :
4) Dresser le tableau de variation de \(f\).
5) Vérifier que :
6) Tracer la courbe \((C_f)\) dans le repère \((O,\vec{i},\vec{j})\).
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\begin{exercice}
Soit $f$ la fonction définie sur $[0,+\infty[$ par :
\[
f(x)=
\begin{cases}
\dfrac{\ln(1+x)}{\sqrt{x}} & \text{si }x>0,\\
0 & \text{si }x=0.
\end{cases}
\]
1) Montrer que $f$ est continue sur $[0,+\infty[$.
2) Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en $0$.
3) Montrer que pour tout $x>0$ :
\[
f'(x)=\frac{g(x)}{2x\sqrt{x}}.
\]
4) Dresser le tableau de variation de $f$.
5) Vérifier que :
\[
f(\alpha)=\frac{2\sqrt{\alpha}}{1+\alpha}.
\]
6) Tracer la courbe $(C_f)$.
\end{exercice}
Déterminer une primitive \(F\) de la fonction \(f\) sur \(I\).
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\begin{exercice}
Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $I$.
1) $f(x)=\frac{3}{2x+1}$ ;
$I=\left]-\frac12,+\infty\right[$
2) $f(x)=\frac{4x-2}{x^2-x+1}$ ;
$I=\mathbb{R}$
3) $f(x)=\frac{1}{x\ln x}$ ;
$I=]1,+\infty[$
4) $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ ;
$I=]0,+\infty[$
5) $f(x)=\tan x$ ;
$I=\left]0,\frac{\pi}{2}\right[$
\end{exercice}