Montrer que pour tout \(x\in\mathbb{R}\), on a :
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\begin{exercice}
Montrer que pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ on a :
\[
\frac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1}
=
\frac{1-e^x}{e^x+1}
\]
\[
\frac{1}{e^x+1}
=
\frac{e^{-x}}{e^{-x}+1}
\]
\end{exercice}
Résoudre les équations suivantes dans \(\mathbb{R}\) :
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\begin{exercice}
Résoudre les équations suivantes dans $\mathbb{R}$ :
\[
e^{1-x}\times e^{2x}=e
\]
\[
\frac{e^{2-x}}{e^{1+2x}}=e^{x-1}
\]
\[
e^{2x}-5e^x+6=0
\]
\[
e^{x^2}\cdot(e^x)^3=(e^{-x})^5\cdot e^{-7}
\]
\end{exercice}
Déterminer les limites suivantes :
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\begin{exercice}
Déterminer les limites suivantes :
\[
\begin{aligned}
1)\;&\lim_{x\to-\infty}(2x-1)e^x\\
2)\;&\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x+3}{x}\\
3)\;&\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x+3x}{x^3}\\
4)\;&\lim_{x\to-\infty}\frac{e^x+1}{e^x+2}\\
5)\;&\lim_{x\to-\infty}e^{-x+1}\\
6)\;&\lim_{x\to+\infty}e^{-x+1}\\
7)\;&\lim_{x\to-\infty}(e^x+e^{-x})\\
8)\;&\lim_{x\to+\infty}
e^{\frac{-x+1}{x^3+5}}\\
9)\;&\lim_{x\to+\infty}
\frac{e^x-1}{e^x+1}\\
10)\;&\lim_{x\to+\infty}(2x-e^x)\\
11)\;&\lim_{x\to+\infty}
\frac{e^x-1}{x^2}\\
12)\;&\lim_{x\to+\infty}
\frac{e^x}{x^2+3x}\\
13)\;&\lim_{x\to+\infty}(3x^3-e^x)\\
14)\;&\lim_{x\to+\infty}
\frac{e^x+3x}{x^3}
\end{aligned}
\]
\end{exercice}
Déterminer les dérivées des fonctions suivantes :
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\begin{exercice}
Déterminer les dérivées des fonctions suivantes :
1) $f(x)=e^{\sqrt{2x+1}}$
2) $g(x)=e^{-2x^2}-3e^{3x+1}$
3) $h(x)=e^{\frac{x+1}{-x+3}}$
4) $f(x)=(e^x-4)\sqrt{e^x-1}$
\end{exercice}
Considérons la fonction \(f\) définie par :
1) Étudier les variations de \(f\) et dresser son tableau de variation.
2) Étudier les branches infinies de la courbe \(C_f\) au voisinage de \(+\infty\).
3) Étudier la concavité de la courbe \(C_f\).
4) Construire la courbe \(C_f\).
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\begin{exercice}
Considérons la fonction $f$ définie par :
\[
f(x)=(x-1)e^x
\]
1) Étudier les variations de $f$
et dresser son tableau de variation.
2) Étudier les branches infinies de la courbe $C_f$
au voisinage de $+\infty$.
3) Étudier la concavité de la courbe $C_f$.
4) Construire la courbe $C_f$.
\end{exercice}
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}^*\) par :
On désigne par \((C_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\).
1)
a) Vérifier que :
et interpréter graphiquement le résultat.
b) Vérifier que :
et interpréter graphiquement le résultat.
2)
a) Calculer :
b) Montrer que l'axe des ordonnées est une direction asymptotique de \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
3)
a) Montrer que pour tout \(x\in\mathbb{R}^*\) :
b) Vérifier que :
c) Montrer que \(f\) est strictement décroissante sur \(]0;2]\), et strictement croissante sur les intervalles \(]-\infty;0[\) et \([2;+\infty[\).
d) Dresser le tableau de variation de \(f\) sur \(\mathbb{R}^*\).
4) Tracer \((C_f)\) dans le repère \((O,\vec i,\vec j)\).
5)
a) Vérifier que la fonction \(H:x\mapsto\frac1x e^{x-4}\) est une primitive de la fonction
sur l'intervalle \([2;4]\).
1) Soit \(g\) la fonction définie sur \([2;4]\) par :
a) Calculer \(g(4)\).
b) Vérifier que pour tout \(x\in[2;4]\) :
📖 Corrigé
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\begin{problème}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^*$ par :
\[
f(x)=2+8\left(\frac{x-2}{x}\right)e^{x-4}
\]
On désigne par $(C_f)$ sa courbe représentative.
1)
a) Vérifier que :
\[
\lim_{x\to-\infty}f(x)=2
\]
et interpréter graphiquement le résultat.
b) Vérifier que :
\[
\lim_{x\to0}f(x)=+\infty
\]
et interpréter graphiquement le résultat.
2)
a) Calculer :
\[
\lim_{x\to+\infty}f(x).
\]
b) Montrer que l'axe des ordonnées est une direction
asymptotique de $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$.
3)
a) Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}^*$ :
\[
f'(x)=
\frac{8(x-2)(x^2-2x+4)e^{x-4}}{x^3}
\]
b) Vérifier que :
\[
\forall x\in\mathbb{R},
\quad x^2-2x+4>0
\]
c) Montrer que $f$ est strictement décroissante
sur $]0;2]$, et strictement croissante sur
$]-\infty;0[$ et $[2;+\infty[$.
d) Dresser le tableau de variation de $f$ sur $\mathbb{R}^*$.
4) Tracer $(C_f)$.
5)
a) Vérifier que la fonction
\[
H:x\mapsto\frac1x e^{x-4}
\]
est une primitive de la fonction
\[
h:x\mapsto\frac{x-1}{x^2}e^{x-4}
\]
sur l'intervalle $[2;4]$.
\textbf{Deuxième partie}
1) Soit $g$ la fonction définie sur $[2;4]$ par :
\[
g(x)=8(x-2)e^{x-4}-x^2
\]
a) Calculer $g(4)$.
b) Vérifier que pour tout $x\in[2;4]$ :
\[
g(x)=-(x-4)^2e^{x-4}
+x^2(e^{x-4}-1)
\]
\end{problème}
On considère la fonction numérique \(h\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
1) Calculer \(h'(x)\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
2) Étudier le signe de \(h'(x)\), puis dresser le tableau de variation de \(h\) sur \(\mathbb{R}\).
3) Calculer \(h(0)\), puis en déduire le signe de \(h\) sur \(\mathbb{R}\).
On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
1.a) Calculer les deux limites :
puis donner une interprétation géométrique du résultat obtenu.
b) Calculer les deux limites :
puis donner une interprétation géométrique du résultat obtenu.
2) Vérifier que :
puis dresser le tableau de variation de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
3.a) Montrer que l'équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\in\mathbb{R}\) et que \(\alpha\) appartient à l'intervalle \(]-2,2;-2[\).
b) Montrer que \((C_f)\) admet un point d'inflexion d'abscisse \(0\).
c) Calculer \(f'(0)\), puis déterminer l'équation de la droite tangente \(T\) à \((C_f)\) au point :
d) Construire \(C_f\) et la droite \(T\).
📖 Corrigé
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\textbf{Exercice 6 — Examen 2010 (9,5 points)}
On considère la fonction numérique $h$
définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[
h(x)=x+1-e^x
\]
1) Calculer $h'(x)$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.
2) Étudier le signe de $h'(x)$
puis dresser le tableau de variation de $h$ sur $\mathbb{R}$.
3) Calculer $h(0)$ puis en déduire le signe
de $h$ sur $\mathbb{R}$.
\textbf{Partie II}
On considère la fonction numérique $f$
définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[
f(x)=x^2+2x-2e^x
\]
1.a) Calculer les deux limites :
\[
\lim_{x\to-\infty}f(x)
\qquad\text{et}\qquad
\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}
\]
puis donner une interprétation géométrique.
b) Calculer les deux limites :
\[
\lim_{x\to+\infty}f(x)
\qquad\text{et}\qquad
\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}
\]
puis donner une interprétation géométrique.
2) Vérifier que :
\[
f'(x)=2h(x)
\qquad\forall x\in\mathbb{R}
\]
puis dresser le tableau de variation de $f$.
3.a) Montrer que l'équation $f(x)=0$
admet une unique solution $\alpha\in\mathbb{R}$
et que $\alpha$ appartient à l'intervalle $]-2,2;-2[$.
b) Montrer que $(C_f)$ admet un point
d'inflexion d'abscisse $0$.
c) Calculer $f'(0)$ puis déterminer
l'équation de la droite tangente $T$
à $(C_f)$ au point :
\[
I(0;f(0)).
\]
d) Construire $C_f$ et la droite $T$.