📝 Exercice 1 : 10 points | 📝 Exercice 2 : 10 points
TOTAL : 20 POINTS
On considère dans le plan \((P)\) rapporté à un repère orthonormé direct \(\left(O;\overrightarrow{e_1};\overrightarrow{e_2}\right)\) les points \(A,B,C\) d'affixes respectives :
1. Soient \(z\) l'affixe d'un point \(M\) et \(z'\) l'affixe de \(M'\), image de \(M\) par la translation \(T\) de vecteur \(\overrightarrow{AB}\).
a. Vérifier que l'affixe de \(\overrightarrow{AB}\) est :
b. Montrer que :
c. Déterminer l'affixe du point \(E\) dont l'image est le point \(C\) par la translation \(T\).
2. Soit \(z''\) l'affixe de \(M''\), image de \(M\) par l'homothétie \(h\) de centre \(C\) et de rapport \(3\).
a. Déterminer l'écriture complexe de \(h\).
b. Déterminer l'affixe sous forme algébrique du point \(A'\), image du point \(A\) par l'homothétie \(h\).
3.
a. Déterminer une forme trigonométrique du nombre complexe \(c\).
b. Montrer que :
c. En déduire que :
d. En déduire une forme trigonométrique du nombre complexe \(a\), puis montrer que :
e. Déterminer les valeurs de :
f. Déterminer une mesure de l'angle \((\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OA})\).
g. En déduire la nature du triangle \(OAB\).
4. Déterminer tous les nombres entiers naturels \(n\) pour lesquels le nombre \(c^n\) soit un nombre réel.
\begin{exercice}
On considère dans le plan $(P)$ rapporté à un repère
orthonormé direct $\left(O;\overrightarrow{e_1};\overrightarrow{e_2}\right)$
les points $A,B,C$ d'affixes respectives :
\[
a=\sqrt{3}+1+i(\sqrt{3}-1),
\quad
b=\sqrt{3}-1+i(\sqrt{3}+1),
\quad
c=\sqrt{3}+i
\]
1. Soient $z$ l'affixe d'un point $M$ et $z'$ l'affixe de $M'$,
image de $M$ par la translation $T$ de vecteur $\overrightarrow{AB}$.
a. Vérifier que l'affixe de $\overrightarrow{AB}$ est :
\[
z_{\overrightarrow{AB}}=-2+2i
\]
b. Montrer que :
\[
z'=z-2+2i
\]
c. Déterminer l'affixe du point $E$ dont l'image est le point $C$
par la translation $T$.
2. Soit $z''$ l'affixe de $M''$ image de $M$ par l'homothétie
$h$ de centre $C$ et de rapport 3.
a. Déterminer l'écriture complexe de $h$.
b. Déterminer l'affixe du point $A'$ image de $A$ par l'homothétie $h$.
3. a. Déterminer une forme trigonométrique du nombre complexe $c$.
b. Montrer que :
\[
a^2=4(\sqrt{3}+i)
\qquad\text{et}\qquad
b=i.\bar a
\]
c. En déduire que :
\[
a^2=
8\left(
\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)
+i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)
\right)
\]
d. En déduire une forme trigonométrique du nombre complexe $a$, puis montrer que :
\[
b=
2\sqrt{2}
\left(
\cos\left(\frac{5\pi}{12}\right)
+i\sin\left(\frac{5\pi}{12}\right)
\right)
\]
e. Déterminer :
\[
\cos\left(\frac{5\pi}{12}\right)
\quad\text{et}\quad
\sin\left(\frac{5\pi}{12}\right)
\]
f. Déterminer une mesure de l'angle
$(\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OA})$.
g. En déduire la nature du triangle $OAB$.
4. Déterminer tous les nombres entiers naturels $n$
pour lesquels le nombre $c^n$ soit un nombre réel.
\end{exercice}
On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
1.
a. Calculer :
b. Calculer \(g'(x)\) et dresser le tableau des variations.
2. Montrer que :
et
(Remarquer que \(g(0)=0\)).
Partie II
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\((C_f)\) est la courbe représentative de \(f\) dans le repère orthonormé \((O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})\), unité : \(2\,cm\).
1.
a. Calculer :
b. Montrer que :
et
et interpréter les résultats géométriquement.
2.
a. Montrer que :
b. Étudier le signe de \(f'(x)\) sur \(\mathbb{R}\), puis dresser le tableau des variations de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
c. Montrer que \(y=1\) est l'équation de la tangente à \((C_f)\) au point d'abscisse \(0\).
d. En déduire que :
3. Tracer la courbe \((C_f)\).
\begin{exercice}
On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[
g(x)=x-1+e^{2x}
\]
1) a) Calculer :
\[
\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty
\qquad\text{et}\qquad
\lim_{x\to-\infty}g(x)
\]
b) Calculer $g'(x)$ et dresser le tableau des variations.
2) Montrer que :
\[
g(x)\leq0
\qquad
\forall x\in]-\infty;0]
\]
et
\[
g(x)\geq0
\qquad
\forall x\in[0;+\infty[
\]
Partie II
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[
f(x)=x^2-2x+e^{2x}
\]
1) a) Calculer :
\[
\lim_{x\to-\infty}f(x)
\]
et montrer :
\[
\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty
\]
b) Montrer que :
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=+\infty
\]
et
\[
\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=-\infty
\]
et interpréter les résultats géométriquement.
2) a) Montrer que :
\[
f'(x)=2g(x)
\qquad
\forall x\in\mathbb{R}
\]
b) Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$
puis dresser le tableau des variations de la fonction $f$.
c) Montrer que $y=1$ est l'équation de la tangente
à $(C_f)$ au point d'abscisse $0$.
d) En déduire que :
\[
f(x)\geq0
\qquad
\forall x\in\mathbb{R}
\]
3) Tracer la courbe $(C_f)$.
\end{exercice}
Exercice 1 : 10 points • Exercice 2 : 10 points
TOTAL : 20 POINTS