2ème Bac
Soit la suite \((u_n)\) définie par :
1) Montrer par récurrence que :
2) Étudier la monotonie de \((u_n)\) et déduire qu'elle est convergente.
3) En déduire que :
4) Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on pose :
a) Montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique.
b) Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\).
c) Calculer \(u_n\) en fonction de \(n\), puis préciser la limite de \((u_n)\).
5) Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on pose :
Calculer \(S_n\) en fonction de \(n\), puis préciser la limite de \((S_n)\).
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\begin{exercice}
Soit la suite $(u_n)$ définie par :
\[
u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+2,
\qquad u_0=2.
\]
1) Montrer par récurrence que :
\[
\forall n\in\mathbb{N},\quad u_n\leq3.
\]
2) Étudier la monotonie de $(u_n)$
et déduire qu'elle est convergente.
3) En déduire que :
\[
\forall n\in\mathbb{N},\quad u_n\geq2.
\]
4) Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on pose :
\[
v_n=u_n-3.
\]
a) Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique.
b) Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
c) Calculer $u_n$ en fonction de $n$
puis préciser la limite de $(u_n)$.
5) Pour tout $n\in\mathbb{N}$ :
\[
S_n=u_0+u_1+\cdots+u_{n-1}+u_n.
\]
Calculer $S_n$ en fonction de $n$
puis préciser la limite de $(S_n)$.
\end{exercice}
Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\((C_f)\) est la courbe représentative de \(f\).
1) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{2}\), puis déterminer la branche infinie de \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
2) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}\), puis déterminer la branche infinie de \((C_f)\) au voisinage de \(-\infty\).
3) Montrer que :
puis dresser le tableau de variations de \(f\).
4) Déterminer l'équation de la tangente \(T\) de \((C_f)\) au point \(A\left(\frac12;\frac32\right)\).
5) Étudier la convexité de \((C_f)\), en précisant les points d'inflexion de \((C_f)\).
6) Montrer que le point \(A\left(\frac12;\frac32\right)\) est le centre de symétrie de \((C_f)\).
7) Montrer que \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\in]-1,0[\).
8) Construire \(T\) et \((C_f)\) dans le repère orthonormé.
9) Soit \(g\) la restriction de \(f\) sur \(I=[1,+\infty[\).
a) Montrer que \(g\) admet une fonction réciproque \(g^{-1}\) sur \(I\) à déterminer.
b) Montrer que \(g^{-1}\) est dérivable en \(6\), puis calculer \((g^{-1})'(6)\).
c) Tracer \((C_{g^{-1}})\) dans le repère orthonormé.
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\begin{exercice}
Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[
f(x)=2x^3-3x^2+2.
\]
1) Calculer :
\[
\lim_{x\to+\infty}f(x)
\]
et
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{2}
\]
puis déterminer la branche infinie de $(C_f)$
au voisinage de $+\infty$.
2) Calculer :
\[
\lim_{x\to-\infty}f(x)
\]
et
\[
\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}
\]
puis déterminer la branche infinie de $(C_f)$
au voisinage de $-\infty$.
3) Montrer que :
\[
\forall x\in\mathbb{R},\quad
f'(x)=6x(x-1)
\]
puis dresser le tableau de variations de $f$.
4) Déterminer l'équation de la tangente $T$
de $(C_f)$ au point :
\[
A\left(\frac12;\frac32\right).
\]
5) Étudier la convexité de $(C_f)$,
en précisant les points d'inflexion.
6) Montrer que le point
\[
A\left(\frac12;\frac32\right)
\]
est le centre de symétrie de $(C_f)$.
7) Montrer que $f(x)=0$ admet une unique solution
\[
\alpha\in]-1,0[.
\]
8) Construire $T$ et $(C_f)$.
9) Soit $g$ la restriction de $f$ sur :
\[
I=[1,+\infty[.
\]
a) Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$.
b) Montrer que $g^{-1}$ est dérivable en $6$,
puis calculer $(g^{-1})'(6)$.
c) Tracer $(C_{g^{-1}})$.
\end{exercice}
On considère la suite \((u_n)\) définie par :
1) Montrer que :
2) Étudier la monotonie de \((u_n)\), puis en déduire qu'elle est convergente.
3) Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on pose :
a) Montrer que la suite \((v_n)\) est géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme.
b) Exprimer \(v_n\) et \(u_n\) en fonction de \(n\).
c) Déterminer la limite de la suite \((u_n)\).
4)
a) Montrer que :
b) En déduire que :
c) Déterminer la limite de la suite \((u_n)\) une deuxième fois.
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\begin{exercice}
On considère la suite $(u_n)$ définie par :
\[
u_0=1,
\qquad
\forall n\in\mathbb{N},
\quad
u_{n+1}=\frac{3u_n+2}{u_n+2}.
\]
1) Montrer que :
\[
\forall n\in\mathbb{N},
\quad
1\leq u_n\leq2.
\]
2) Étudier la monotonie de $(u_n)$
puis en déduire qu'elle est convergente.
3) Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on pose :
\[
v_n=\frac{u_n+1}{u_n-2}.
\]
a) Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique
dont on déterminera la raison et le premier terme.
b) Exprimer $v_n$ et $u_n$ en fonction de $n$.
c) Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
4)
a) Montrer que :
\[
\forall n\in\mathbb{N},
\quad
2-u_{n+1}\leq\frac12(2-u_n).
\]
b) En déduire que :
\[
\forall n\in\mathbb{N},
\quad
2-u_n<\left(\frac12\right)^n.
\]
c) Déterminer la limite de la suite $(u_n)$
une deuxième fois.
\end{exercice}