Soit la fonction définie par :
1) Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variation de \(f\).
2) Montrer que l'équation \(f(x)=0\) admet au moins une solution dans \(\mathbb{R}\).
3) Donner le nombre de solutions de l'équation \(f(x)=0\) sur \(\mathbb{R}\).
4) Montrer que l'équation \(f(x)=0\) admet une seule solution \(\alpha\) dans l'intervalle \(]1,2[\).
5) Donner un nouvel encadrement de \(\alpha\) d'amplitude \(0,5\).
📖 Corrigé
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\textbf{Exercice 1 (6 pt)}
Soit la fonction définie par :
\[
f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-2x+3
\]
1) Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variation de \(f\).
2) Montrer que l'équation \(f(x)=0\) admet au moins une solution dans \(\mathbb{R}\).
3) Donner le nombre de solutions de l'équation \(f(x)=0\) sur \(\mathbb{R}\).
4) Montrer que l'équation \(f(x)=0\) admet une seule solution
\(\alpha\) dans l'intervalle \(]1,2[\).
5) Donner un nouvel encadrement de \(\alpha\)
d'amplitude \(0,5\).
Soit la fonction \(f\) définie par :
Étudier la continuité de \(f\) en \(x_0=0\).
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Exercice 2 (3 pt)}
Soit la fonction \(f\) définie par :
\[
f(x)=
\begin{cases}
\dfrac{4-\sqrt[3]{x+64}}{\sin(2x)},
&x\neq0\\[10pt]
\dfrac{1}{12},
&x=0
\end{cases}
\]
Étudier la continuité de \(f\) en \(x_0=0\).
Partie 1
Soit la fonction \(f\) définie par :
1) Déterminer \(D_f\), domaine de définition de \(f\).
2) Calculer les limites suivantes :
3) Étudier la dérivabilité de \(f\) à gauche de \(-3\) et à droite de \(0\), et interpréter les résultats.
4) Calculer \(f'(x)\) pour tout \(x\) de \(D_f\setminus\{-3,0\}\) et dresser le tableau de variation de \(f\).
Partie 2
Soit la fonction \(g\), restriction de \(f\) sur l'intervalle \([0,+\infty[\).
1) Montrer que \(g\) admet une fonction réciproque \(g^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) qu'il faut déterminer.
2) Calculer \(g(1)\) et déduire \(\left(g^{-1}\right)'(1)\).
📖 Corrigé
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\textbf{Exercice 3 (11 pt)}
\textbf{Partie 1}
Soit la fonction \(f\) définie par :
\[
f(x)=\sqrt{x^2+3x}-x
\]
1) Déterminer \(D_f\), domaine de définition de \(f\).
2) Calculer les limites suivantes :
\[
\lim_{x\to+\infty}f(x)
\]
\[
\lim_{x\to-\infty}f(x)
\]
\[
\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-x\right)
\]
\[
\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}
\]
3) Étudier la dérivabilité de \(f\) à gauche de \(-3\)
et à droite de \(0\), et interpréter les résultats.
4) Calculer \(f'(x)\) pour tout \(x\) de
\(D_f\setminus\{-3,0\}\) et dresser le tableau de variation de \(f\).
\textbf{Partie 2}
Soit la fonction \(g\), restriction de \(f\) sur l'intervalle
\([0,+\infty[\).
1) Montrer que \(g\) admet une fonction réciproque \(g^{-1}\)
définie sur un intervalle \(J\) qu'il faut déterminer.
2) Calculer \(g(1)\) et déduire
\(\left(g^{-1}\right)'(1)\).