Calculer les limites suivantes :
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\begin{enumerate}
\item Calculer les limites suivantes :
\[
\lim_{x\to-\infty}(-2x^3+x)
\]
\[
\lim_{x\to+\infty}
\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)
\]
\[
\lim_{x\to-\infty}
\frac{1+4x^2}{2x-x^3}
\]
\[
\lim_{x\to1}
\frac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1}
\]
\[
\lim_{x\to+\infty}
\left(\sqrt[3]{1+x^3}-2x^2\right)
\]
\[
\lim_{x\to0}
\frac{1-\cos(2x)}{x^2}
\]
\end{enumerate}
1) Ranger dans l'ordre croissant :
2) Simplifier :
3) Résoudre les équations suivantes :
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\begin{enumerate}
\item Ranger dans l'ordre croissant :
\[
\sqrt[6]{2},\quad
2^{3/4},\quad
\sqrt3
\]
\item Simplifier :
\[
A=
\frac{\sqrt[6]{64000000}}
{\sqrt[3]{4}\times 2^{1/3}\times\sqrt2}
\]
\item Résoudre :
\[
\sqrt[3]{1-x}=x-1
\]
\[
(1+2x)^5-32=0
\]
\end{enumerate}
Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
1) Montrer que \(g\) est continue sur les intervalles \(]-\infty,1]\) et \(]1,+\infty[\).
2) La fonction \(g\) est-elle continue sur \(\mathbb{R}\) ?
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[
g(x)=
\begin{cases}
\dfrac{x^2+x-2}{x-1},
&x>1\\[8pt]
x+\sqrt{x^2+3},
&x\leq1
\end{cases}
\]
1) Montrer que \(g\) est continue sur les intervalles
\(]-\infty,1]\) et \(]1,+\infty[\).
2) La fonction \(g\) est-elle continue sur \(\mathbb{R}\) ?
1) Montrer que l'équation
admet une unique solution \(\alpha\in\mathbb{R}\), avec :
2) Donner un encadrement de \(\alpha\) d'amplitude \(0,5\).
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
1) Montrer que l'équation
\[
x^3+2x-1=0
\]
admet une unique solution
\(\alpha\in\mathbb{R}\), avec
\[
0<\alpha<1
\]
2) Donner un encadrement de \(\alpha\)
d'amplitude \(0,5\).
Soit \(f\) la fonction définie sur \(I=[1,+\infty[\) par :
1) Calculer :
2) Montrer que \(f\) est continue sur \(I\).
3a) Montrer que pour tout \(x>1\) :
3b) Montrer que \(f\) est strictement croissante sur \([\sqrt2,+\infty[\) et strictement décroissante sur \([1,\sqrt2]\).
4) On considère la restriction de \(f\) à \([\sqrt2,+\infty[\).
Montrer qu'elle admet une fonction réciproque sur un intervalle \(J\).
Montrer que :
et en déduire l'expression de la fonction réciproque.
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
Soit \(f\) la fonction définie sur
\(I=[1,+\infty[\) par :
\[
f(x)=x^2-2\sqrt{x^2-1}
\]
1) Calculer :
\[
\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty
\]
2) Montrer que \(f\) est continue sur \(I\).
3a) Montrer que pour tout \(x>1\) :
\[
f'(x)=
\left(
\frac{2x}
{\sqrt{x^2-1}
(\sqrt{x^2-1}+1)}
\right)
(x^2-2)
\]
3b) Montrer que \(f\) est strictement croissante
sur \([\sqrt2,+\infty[\) et strictement décroissante
sur \([1,\sqrt2]\).
4) On considère la restriction de \(f\) à
\([\sqrt2,+\infty[\).
Montrer qu'elle admet une fonction réciproque
sur un intervalle \(J\).
Montrer que :
\[
g(x)=
(\sqrt{x^2-1}-1)^2
\]
et en déduire l'expression de la fonction réciproque.