Dans chacun des cas suivants, étudier la concavité de la courbe \(\mathscr{C}_f\) de \(f\) en déterminant ses éventuels points d'inflexion :
1)
2)
3)
4)
5)
6)
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Exercice 12}
Dans chacun des cas suivants, étudier la concavité de la courbe
$\mathscr{C}_f$ de $f$ en déterminant ses éventuels points d'inflexion:
1) $f(x)=x^3-3x^2+2$
2) $f(x)=\sqrt[3]{x^2+x}+x$
3) $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$
4) $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}-1}$
5) $f(x)=x+\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
6) $f(x)=\frac{2x-1}{x^2-x-2}$
Dans chacun des cas suivants, montrer que le point \(\Omega\) est un centre de symétrie de la courbe \(\mathcal{C}_f\) de \(f\) :
1) \(f(x)=x^3-3x^2+x+1\) et \(\Omega(1\,;0)\).
2) \(f(x)=\dfrac{3x^2+8x+4}{x+1}\) et \(\Omega(-1\,;2)\).
3) \(f(x)=2x+1+\dfrac{1}{x-2}\) et \(\Omega(2\,;5)\).
📖 Corrigé
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\textbf{Exercice 13}
Dans chacun des cas suivants, montrer que le point $\Omega$
est un centre de symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ de $f$ :
1) $f(x)=x^3-3x^2+x+1$ et $\Omega(1 ; 0)$
2) $f(x)=\frac{3x^2+8x+4}{x+1}$ et $\Omega(-1 ; 2)$
3) $f(x)=2x+1+\frac{1}{x-2}$ et $\Omega(2 ; 5)$
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb{R}\) par :
1) Montrer que le point \(\Omega(0\,;2)\) est un centre de symétrie de la courbe \(\mathscr{C}_f\) de la fonction \(f\).
2) Sachant que \(f\) est strictement croissante sur \([2\,;+\infty[\), déterminer le sens de variation de \(f\) sur \(]-\infty\,;-2]\).
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Exercice 14}
Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par:
$$
f(x)=3x^5-5x^3-180x+2
$$
1) Montrer que le point $\Omega(0 ; 2)$ est un centre de symétrie
de la courbe $\mathscr{C}_f$ de la fonction $f$.
2) Sachant que $f$ est strictement croissante sur $[2 ;+\infty[$,
déterminer le sens de variation de $f$ sur $]-\infty ;-2]$.
Soit \(f\) la fonction définie par :
Montrer que la courbe \(\mathscr{C}_f\) de la fonction \(f\) admet deux asymptotes obliques à déterminer.
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Exercice 15}
Soit $f$ la fonction définie par :
$$
f(x)=\sqrt{x^2+5}+3x
$$
Montrer que la courbe $\mathscr{C}_f$ de la fonction $f$
admet deux asymptotes obliques à déterminer.
Étudier les branches infinies de la courbe \(\mathscr{C}_f\) de la fonction \(f\) dans chacun des cas suivants :
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Exercice 16}
Étudier les branches infinies de la courbe $\mathscr{C}_f$
de la fonction $f$ dans chacun des cas suivants :
1) $f(x)=2x-1+\frac{4}{x^2}$
2) $f(x)=\sqrt[3]{x^2+1}+2x$
3) $f(x)=\frac{1-2x}{x^2+1}$
4) $f(x)=\frac{2x^2+x+3}{x+1}$
5) $f(x)=\frac{2x+5}{x^3-8}$
6) $f(x)=3x-1+\frac{1}{\sqrt{x}}$
7) $f(x)=2x-\sqrt{x^2+1}$
8) $f(x)=\sqrt{x^2+2x}-5x-3$
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb{R}\) par :
et soit \(\mathscr{C}_f\) sa courbe représentative dans un repère \((O;\vec{i};\vec{j})\).
1) Calculer :
2) Étudier la continuité de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
3) Étudier la dérivabilité à droite en \(0\) de \(f\).
4) Étudier les branches infinies de la courbe \(\mathscr{C}_f\).
5)
a) Calculer \(f'(x)\) pour tout \(x\in\mathbb{R}^{*}\).
b) En déduire que \(f\) est strictement croissante sur \(]-\infty\,;0[\) et strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\), puis dresser le tableau de variations de \(f\).
6) Montrer que l'équation \(f(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\) dans \(]-\infty\,;0[\), puis vérifier que :
7) Tracer la courbe \(\mathscr{C}_f\).
8) Soit \(g\) la restriction de la fonction \(f\) sur \(]0\,;+\infty[\).
a) Montrer que \(g\) admet une fonction réciproque \(g^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.
b) Étudier la continuité et la dérivabilité de \(g^{-1}\) sur l'intervalle \(J\).
c) Déterminer \(g^{-1}(x)\) pour tout \(x\in J\).
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Exercice 17}
Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par:
$$
\begin{cases}
f(x)=x^3+12x-1 & \text{ si } x\leq0\\
f(x)=\sqrt{1+x^2}-x & \text{ si } x>0
\end{cases}
$$
et soit $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans
un repère $(O ; \vec{i} ; \vec{j})$.
1) Calculer
$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)$
et
$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)$.
2) Étudier la continuité de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
3) Étudier la dérivabilité à droite en 0 de $f$.
4) Étudier les branches infinies de la courbe $\mathscr{C}_f$.
5) a) Calculer $f^{\prime}(x)$ pour tout $x\in\mathbb{R}^{*}$.
b) En déduire que $f$ est strictement croissante sur
$]-\infty ;0[$ et strictement croissante sur
$]0 ;+\infty[$ puis dresser le tableau de variations de $f$.
6) Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique
$\alpha$ dans $]-\infty ;0[$ puis vérifier que
$\alpha\in]-\frac{1}{12};0[$.
7) Tracer la courbe $\mathscr{C}_f$.
8) Soit $g$ la restriction de la fonction $f$ sur $]0 ;+\infty[$.
a) Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$
définie sur un intervalle $J$ à déterminer.
b) Étudier la continuité et la dérivabilité de $g^{-1}$
sur l'intervalle $J$.
c) Déterminer $g^{-1}(x)$ pour tout $x\in J$.
Soit \(g\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb{R}\) par :
et soit \(\mathscr{C}_g\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).
1) Étudier les branches infinies de la courbe \(\mathscr{C}_g\).
2) Calculer \(g'(x)\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\), puis dresser le tableau de variations de la fonction \(g\).
3)
a) Montrer que \(I(2\,;0)\) est un centre de symétrie de la courbe \(\mathscr{C}_g\).
b) Donner l'équation de la tangente \((T)\) à la courbe \(\mathcal{C}_g\) au point \(I\).
4) Étudier la concavité de la courbe \(\mathscr{C}_g\).
5) Tracer \((T)\) et \(\mathscr{C}_g\) dans le repère \((O;\vec{i};\vec{j})\).
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Exercice 18}
Soit $g$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$
g(x)=x^3-6x^2+9x-2
$$
et soit $\mathscr{C}_g$ sa courbe représentative dans
un repère orthonormé $(O ; \vec{i} ; \vec{j})$.
1) Étudier les branches infinies de la courbe $\mathscr{C}_g$.
2) Calculer $g^{\prime}(x)$ pour tout $x\in\mathbb{R}$
puis dresser le tableau de variations de la fonction $g$.
3) a) Montrer que $I(2 ; 0)$ est un centre de symétrie
de la courbe $\mathscr{C}_g$.
b) Donner l'équation de la tangente $(T)$ à la courbe
$\mathcal{C}_g$ au point $I$.
4) Étudier la concavité de la courbe $\mathscr{C}_g$.
5) Tracer $(T)$ et $\mathscr{C}_g$ dans le repère
$(O ; \vec{i} ; \vec{j})$.