Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \([-2\,;2]\) par :
1) Montrer que la fonction \(f\) est continue en \(0\).
2)
a) Montrer que la fonction \(f\) est dérivable en \(0\).
b) Écrire l'équation de la tangente \((T)\) à la courbe \(C_f\) de la fonction \(f\) au point d'abscisse \(0\).
3) Étudier la dérivabilité à gauche de la fonction \(f\) au point \(x_0=2\) puis interpréter le résultat obtenu.
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Exercice 1}
Soit $f$ la fonction numérique définie sur $[-2 ; 2]$ par :
$$
\left\{
\begin{array}{l}
f(x)=\frac{\sqrt{4-x}-\sqrt{4-x^2}}{x}
\quad \text{si } x\neq 0\\
f(0)=-\frac{1}{4}
\end{array}
\right.
$$
1) Montrer que la fonction $f$ est continue en 0.
2) a) Montrer que la fonction $f$ est dérivable en 0.
b) Écrire l'équation de la tangente $(T)$ à la courbe $C_f$
de la fonction $f$ au point d'abscisse 0.
3) Étudier la dérivabilité à gauche de la fonction $f$
au point $x_0=2$ puis interpréter le résultat obtenu.
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \([-1\,;+\infty[\) par :
1) Justifier que la fonction \(f\) est dérivable en \(0\).
2) En déduire l'approximation affine de la fonction \(f\) au voisinage de \(0\).
3) Déterminer des valeurs approchées des nombres :
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Exercice 2}
Soit $f$ la fonction numérique définie sur $[-1 ;+\infty[$ par:
$$
f(x)=\sqrt[3]{1+x}
$$
1) Justifier que la fonction $f$ est dérivable en 0.
2) En déduire l'approximation affine de la fonction $f$
au voisinage de 0.
3) Déterminer des valeurs approchées des nombres:
$$
\sqrt[3]{0,991}
\text{ et }
\sqrt[3]{1,007}
$$
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) par :
1) Étudier la dérivabilité de la fonction \(f\) en \(1\).
2) En déduire l'approximation affine de la fonction \(f\) au voisinage de \(1\).
3) En déduire une valeur approchée de :
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Exercice 3}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}_{+}^*$ par :
$$
f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}
$$
1) Étudier la dérivabilité de la fonction $f$ en 1.
2) En déduire l'approximation affine de la fonction $f$
au voisinage de 1.
3) En déduire une valeur approchée de :
$$
\frac{1}{\sqrt{1,00032}}
$$
Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Exercice 4}
Calculer les dérivées des fonctions suivantes:
$$
\begin{aligned}
& f(x)=4 x^5+8 x^2-13 x+7 ;
\qquad
g(x)=x^4+\frac{1}{x^4}
\\
& h(x)=-2 x^3+10 \sqrt{x}+\frac{5}{x} ;
\qquad
k(x)=\frac{x+1}{x^2+x+1}
\\
& u(x)=\sqrt{x}\left(2 x^2+7 x+4\right) ;
\qquad
v(x)=\left(x^2+x+1\right)^{\frac{3}{2}}
\end{aligned}
$$
Calculer \(f'(x)\) dans chacun des cas suivants :
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Exercice 5}
Calculer $f^{\prime}(x)$ dans chacun des cas suivants :
$$
\begin{aligned}
& f(x)=\sqrt{x^2-3 x+5} ;
\\
& f(x)=\sqrt[3]{x^2-2 x}+\sqrt[4]{4 x+1}
\\
& f(x)=\sqrt{\frac{x^3}{3 x+2}}
\quad ; \quad
f(x)=\frac{2 x-1}{\sqrt{x^2-4 x+5}}
\end{aligned}
$$
Soit \(f\) la fonction définie par :
1) Déterminer \(D_f\), l'ensemble de définition de \(f\), puis calculer les limites aux bornes de \(D_f\).
2) Montrer que :
3) Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\).
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Exercice 6}
Soit $f$ la fonction définie par:
$$
f(x)=\frac{3 x+3}{\sqrt{2 x-1}}
$$
1) Déterminer $D_f$ l'ensemble de définition de $f$
puis calculer les limites aux bornes de $D_f$.
2) Montrer que :
$$
\left(\forall x \in D_f\right)
f^{\prime}(x)=
\frac{3(x-2)}{(\sqrt{2 x-1})^3}
$$
3) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
Pour chacune des fonctions suivantes, calculer \(f'(x)\) puis dresser son tableau de variations :
1) \[ f(x)=x^3+2x-1 \]
2) \[ f(x)=x^4-4x \]
3) \[ f(x)=\frac{x^2-3x+2}{(x+1)^2} \]
4) \[ f(x)=\sqrt{x^2+1}-x \]
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Exercice 7}
Pour chacune des fonctions suivantes, calculer $f^{\prime}(x)$
puis dresser son tableau de variations :
1) $f(x)=x^3+2 x-1$
2) $f(x)=x^4-4 x$
3) $f(x)=\frac{x^2-3 x+2}{(x+1)^2}$
4) $f(x)=\sqrt{x^2+1}-x$
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}^{+}\) par :
1)
a) Calculer \(f'(x)\) pour tout \(x\in\mathbb{R}^{+}\).
b) En déduire que \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}^{+}\).
2) Montrer que \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.
3)
a) Montrer que \(f^{-1}\) est dérivable sur l'intervalle \(J\).
b) Déterminer \(f(2)\) puis calculer \(\left(f^{-1}\right)'(6)\).
c) Déterminer \(\left(f^{-1}\right)'(0)\).
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Exercice 8}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^{+}$ par :
$$
f(x)=x \sqrt{x^3+1}
$$
1) a) Calculer $f^{\prime}(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}^{+}$.
b) En déduire que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}^{+}$.
2) Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$
définie sur un intervalle $J$ à déterminer.
3) a) Montrer que $f^{-1}$ est dérivable sur l'intervalle $J$.
b) Déterminer $f(2)$ puis calculer
$\left(f^{-1}\right)^{\prime}(6)$.
c) Déterminer $\left(f^{-1}\right)^{\prime}(0)$.
On considère la fonction \(g\) définie sur \([1\,;+\infty[\) par :
1) Étudier la dérivabilité de la fonction \(g\) à droite en \(1\), puis interpréter le résultat géométriquement.
2) Étudier les variations de la fonction \(g\).
3)
a) Montrer que \(g\) admet une fonction réciproque dont on déterminera le domaine de définition.
b) Montrer que \(g^{-1}\) est dérivable en \(\sqrt{2}-1\), puis calculer :
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Exercice 9}
On considère la fonction $g$ définie sur $[1 ;+\infty[$ par :
$$
g(x)=x-3+\sqrt{x^2-x}
$$
1) Étudier la dérivabilité de la fonction $g$ à droite
en 1 puis interpréter le résultat géométriquement.
2) Étudier les variations de la fonction $g$.
3) a) Montrer que $g$ admet une fonction réciproque
dont on déterminera le domaine de définition.
b) Montrer que $g^{-1}$ est dérivable en
$(\sqrt{2}-1)$ puis calculer :
$$
\left(g^{-1}\right)^{\prime}(\sqrt{2}-1)
$$
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb{R}\) par :
1) Étudier les variations de la fonction \(f\).
2) Soit \(g\) la restriction de \(f\) sur \([1,+\infty[\).
a) Montrer que \(g\) admet une fonction réciproque définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.
b) Montrer que l'équation \(g(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) et que :
c) Montrer que :
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Exercice 10}
Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$
f(x)=x^3-3x-3
$$
1) Étudier les variations de la fonction $f$.
2) Soit $g$ la restriction de $f$ sur $[1,+\infty[$.
a) Montrer que $g$ admet une fonction réciproque définie
sur un intervalle $J$ à déterminer.
b) Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution
$\alpha$ et que $2<\alpha<3$.
c) Montrer que :
$$
\left(g^{-1}\right)^{\prime}(0)
=
\frac{1}{3\left(\alpha^2-1\right)}
$$
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb{R}\) par :
1) Étudier les variations de la fonction \(f\).
2) Calculer \(f''(x)\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
3) Étudier la concavité de la courbe \(\mathscr{C}_f\) de la fonction \(f\) et déterminer ses points d'inflexion.
📖 Corrigé
Le corrigé sera ajouté prochainement.
\textbf{Exercice 11}
Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par:
$$
f(x)=x^3-3 x^2+2 x-5
$$
1) Étudier les variations de la fonction $f$.
2) Calculer $f^{\prime \prime}(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
3) Étudier la concavité de la courbe $\mathscr{C}_f$
de la fonction $f$ et déterminer ses points d'inflexion.