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📘 Dénombrement
2ème Bac Sciences Expérimentales

📚 Dénombrement

Le dénombrement permet de déterminer le nombre de possibilités dans une situation donnée.

📖 Définitions

Soit \(E\) un ensemble fini.

Le cardinal de \(E\) est le nombre des éléments de \(E\). On le note :

\[ \boxed{\operatorname{Card}(E)} \]

Le complémentaire de \(A\) dans \(E\) est noté \(\overline{A}\) :

\[ \boxed{ \overline{A} = \{x\in E\ /\ x\notin A\} } \]

📐 Propriétés

Pour deux parties \(A\) et \(B\) d'un ensemble fini \(E\) :

\[ \boxed{ \operatorname{Card}(A\cup B) = \operatorname{Card}(A) + \operatorname{Card}(B) - \operatorname{Card}(A\cap B) } \]

Si \(A\cap B=\varnothing\), alors :

\[ \boxed{ \operatorname{Card}(A\cup B) = \operatorname{Card}(A) + \operatorname{Card}(B) } \]

Pour le complémentaire de \(A\) dans \(E\) :

\[ \boxed{ \operatorname{Card}(\overline A) = \operatorname{Card}(E) - \operatorname{Card}(A) } \]

\[ A\cup\overline A=E \qquad\text{et}\qquad A\cap\overline A=\varnothing \]

🔢 Le principe fondamental du dénombrement

Dans une situation de dénombrement contenant \(p\) choix :

le 1er choix se réalise par \(n_1\) façons distinctes,

le 2ème choix se réalise par \(n_2\) façons distinctes,

\(\ldots\)

et le \(p\)ème choix se réalise par \(n_p\) façons distinctes.

Alors le nombre total des possibilités est :

\[ \boxed{ n_1\times n_2\times\cdots\times n_p } \]

🔷 Arrangements

Le nombre des arrangements sans répétition de \(p\) éléments pris parmi \(n\) éléments est :

\[ \boxed{ A_n^p = n(n-1)(n-2)\cdots(n-p+1) } \]

Le produit contient \(p\) facteurs, avec :

\[ p,n\in\mathbb{N}^{*} \qquad\text{et}\qquad p\leq n \]

Le nombre des arrangements avec répétition de \(p\) éléments pris parmi \(n\) éléments est :

\[ \boxed{n^p} \]

🔄 Permutations

Tout arrangement de \(n\) éléments pris parmi \(n\) éléments est appelé une permutation de \(n\) éléments.

Le nombre des permutations de \(n\) éléments est :

\[ \boxed{ A_n^n=n! } \]

\[ \boxed{ n! = n(n-1)(n-2)\cdots1 } \]

🟣 Combinaisons

Soit \(E\) un ensemble de cardinal \(n\).

Toute partie de \(E\) contenant \(p\) éléments est appelée une combinaison de \(p\) éléments pris parmi \(n\).

Le nombre des combinaisons de \(p\) éléments pris parmi \(n\) est :

\[ \boxed{ C_n^p = \frac{A_n^p}{p!} = \frac{n!}{p!(n-p)!} } \]

\[ p,n\in\mathbb{N}^{*} \qquad\text{et}\qquad p\leq n \]

🎲 Quelques types de tirage

On tire \(p\) éléments parmi \(n\) éléments, avec \(p,n\in\mathbb{N}^{*}\).

Type de tirage	Nombre des possibilités	L'ordre
Simultanément \((p\leq n)\)	\(C_n^p\)	N'est pas important
Successivement et sans remise \((p\leq n)\)	\(A_n^p\)	Important
Successivement et avec remise	\(n^p\)	Important

🧩 Nombre de possibilités d'arrangement de \(n\) éléments

On dispose de \(n_1\) éléments de type \(A\), de \(n_2\) éléments de type \(B\) et de \(n_3\) éléments de type \(C\), parmi \(n\) éléments, avec :

\[ \boxed{ n=n_1+n_2+n_3 } \]

Le nombre de possibilités d'arranger ces \(n\) éléments est :

\[ \boxed{ \frac{n!}{n_1!\,n_2!\,n_3!} } \]

📝 Formules à retenir

\[ \begin{aligned} A_n^p &=n(n-1)\cdots(n-p+1)\\[4pt] A_n^p\text{ avec répétition} &=n^p\\[4pt] A_n^n &=n!\\[4pt] C_n^p &=\frac{n!}{p!(n-p)!} \end{aligned} \]

Exercice 1

Dans un lycée de \(100\) élèves, \(53\) pratiquent le football, \(15\) le football et le basket-ball et \(20\) pratiquent seulement le basket-ball sans football.

1) Quel est le nombre d'élèves qui pratiquent le basket-ball ?

2) Quel est le nombre d'élèves qui pratiquent au moins un sport ?

3) Quel est le nombre d'élèves qui ne pratiquent pas les deux sports ?

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📖 Corrigé de l'Exercice 1

Soit \(F\) l'ensemble des élèves qui pratiquent le football et \(B\) l'ensemble des élèves qui pratiquent le basket-ball.

\[ \operatorname{Card}(F)=53 \qquad\text{et}\qquad \operatorname{Card}(F\cap B)=15 \]

\(20\) élèves pratiquent seulement le basket-ball, donc :

\[ \operatorname{Card}(B\setminus F)=20 \]

1) Nombre d'élèves qui pratiquent le basket-ball :

On additionne les élèves qui pratiquent seulement le basket-ball et ceux qui pratiquent les deux sports.

\[ \operatorname{Card}(B) = \operatorname{Card}(B\setminus F) + \operatorname{Card}(F\cap B) \]

\[ \operatorname{Card}(B) = 20+15 = 35 \]

\[ \boxed{35\text{ élèves}} \]

2) Nombre d'élèves qui pratiquent au moins un sport :

On utilise la formule du cardinal de l'union :

\[ \operatorname{Card}(F\cup B) = \operatorname{Card}(F) + \operatorname{Card}(B) - \operatorname{Card}(F\cap B) \]

\[ \operatorname{Card}(F\cup B) = 53+35-15 = 73 \]

\[ \boxed{73\text{ élèves}} \]

3) Nombre d'élèves qui ne pratiquent aucun des deux sports :

Le nombre d'élèves qui pratiquent au moins un sport est \(73\).

\[ \operatorname{Card}\left(\overline{F\cup B}\right) = 100-\operatorname{Card}(F\cup B) \]

\[ \operatorname{Card}\left(\overline{F\cup B}\right) = 100-73 = 27 \]

\[ \boxed{27\text{ élèves}} \]

\textbf{Exercice 1}

Dans un lycée de 100 élèves, 53 pratiquent le football,
15 le football et le basket-ball et 20 pratiquent seulement
le basket-ball sans football.

1) Quel est le nombre d'élèves qui pratiquent le basket-ball ?

2) Quel est le nombre d'élèves qui pratiquent au moins un sport ?

3) Quel est le nombre d'élèves qui ne pratiquent pas les deux sports ?

Exercice 2 🔢

Combien de nombres de trois chiffres peut-on former avec les chiffres suivants : \(0,1,2,3,4,\ldots,9\) ?

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📖 Correction de l'exercice 2

On dispose de \(10\) chiffres :

\[ 0,1,2,3,4,\ldots,9 \]

Pour former un nombre de trois chiffres, on choisit successivement trois chiffres sans répétition.

Pour le premier chiffre, on a \(10\) possibilités, car le chiffre \(0\) peut être utilisé.

Après avoir choisi le premier chiffre, il reste \(9\) possibilités pour le deuxième chiffre.

Puis il reste \(8\) possibilités pour le troisième chiffre.

\[ N=10\times9\times8 \]

\[ \boxed{N=720} \]

Donc, on peut former \(720\) nombres de trois chiffres.

\textbf{Exercice 2 :}
Combien de nombres de trois chiffres peut-on former avec les chiffres suivants :
\(0,1,2,3,4,\ldots,9\) ?

Exercice 3 🔢

Soit l’ensemble \(M=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\).

1) Combien de nombres de 3 chiffres peut-on former avec les éléments de \(E\) ?

2) Combien de nombres de 3 chiffres différents deux à deux peut-on former avec les éléments de \(E\) ?

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📖 Correction de l'exercice 3

On dispose de \(9\) éléments :

\[ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \]

1) Pour former un nombre de \(3\) chiffres, chaque position peut être occupée par l’un des \(9\) éléments.

\[ N_1=9\times9\times9=9^3=729 \]

Donc : \[ \boxed{N_1=729} \]

2) Les trois chiffres doivent être différents deux à deux.

Pour le premier chiffre : \(9\) possibilités.

Pour le deuxième chiffre : \(8\) possibilités.

Pour le troisième chiffre : \(7\) possibilités.

\[ N_2=9\times8\times7=504 \]

Donc : \[ \boxed{N_2=504} \]

\textbf{Exercice 3 :}

Soit l’ensemble \(M=\{1;2;3;4;5;6;7;8;9\}\).

1) Combien de nombres de 3 chiffres on peut former avec les éléments de \(E\) ?

2) Combien de nombres de 3 chiffres différents deux à deux on peut former
avec les éléments de \(E\) ?

Exercice 4 🔢

De combien de façons différentes peut-on ranger \(5\) boules de couleurs différentes dans \(4\) cases sachant que chaque case peut contenir tous les boules ?

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📖 Correction de l'exercice 4

On dispose de \(5\) boules de couleurs différentes et de \(4\) cases.

Chaque boule peut être placée dans l’une des \(4\) cases.

Donc, pour chacune des \(5\) boules, il y a \(4\) possibilités.

\[ N=4\times4\times4\times4\times4=4^5 \]

\[ \boxed{N=1024} \]

Donc, il existe \(1024\) façons différentes de ranger les \(5\) boules dans les \(4\) cases.

\textbf{Exercice 4 :}

De combien de façons différentes peut-on ranger 5 boules de couleurs
différentes dans 4 cases sachant que chaque case peut contenir tous les boules ?

Exercice 5 🔢

Une urne contient \(9\) boules numérotées de \(1\) à \(9\).

1) On tire \(3\) boules de l'urne successivement avec remise et on construit un nombre de trois chiffres. Quel est le nombre de nombres possibles ?

2) On tire \(3\) boules de l'urne successivement sans remise. Quel est le nombre de nombres possibles ?

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📖 Corrigé de l'Exercice 5

1) Avec remise :

À chaque tirage, on dispose de \(9\) possibilités.

\[ N_1=9\times9\times9=9^3 \]

\[ \boxed{N_1=729} \]

2) Sans remise :

Pour le premier tirage, il y a \(9\) possibilités, puis \(8\) possibilités et enfin \(7\) possibilités.

\[ N_2=9\times8\times7 \]

\[ \boxed{N_2=504} \]

Donc :

\[ \boxed{\text{Avec remise : }729} \qquad \boxed{\text{Sans remise : }504} \]

\textbf{Exercice 5 :}

Une urne contient 9 boules numérotées de 1 à 9.

1) On tire 3 boules de l'urne successivement avec remise
et on construit un nombre de trois chiffres.
Quel est le nombre de nombres possibles ?

2) On tire 3 boules de l'urne successivement sans remise.
Quel est le nombre de nombres possibles ?