Retrouvez les théorèmes, définitions et exercices d'application.
Théorème 1 — T.V.I :
Si \(f\) est continue sur \([a,b]\) et \(f(a)f(b)\mathrel{\lt}0\), alors l'équation \(f(x)=0\) admet au moins une solution \(c\) dans \(]a,b[\).
Soit \(f\) la fonction numérique de la variable \(x\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
1- Montrer que l'équation \(x^6+2x^4-1=0\) admet au moins une solution sur \(]0;1[\).
\begin{exercice}
Soit $f$ la fonction numérique de la variable $x$
définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[
f(x)=x^6+2x^4-1
\]
1- Montrer que l'équation
$x^6+2x^4-1=0$
admet au moins une solution sur $]0;1[$.
\end{exercice}
Montrer que l'équation :
admet au moins une solution dans l'intervalle \(I=[0;2]\).
\begin{exercice}
Montrer que l'équation
\[
\sqrt{x^3+6x+1}=2
\]
admet au moins une solution dans l'intervalle
$I=[0;2]$.
\end{exercice}
Théorème 2 — T.V.I :
Soit \(f\) une fonction continue sur \([a,b]\) et strictement monotone sur \([a,b]\). Si \(f(a)\times f(b)\mathrel{\lt}0\), alors il existe un seul élément \(c\) dans \([a,b]\) tel que \(f(c)=0\).
Soit \(f\) la fonction définie par :
1) Montrer que l'équation \(f(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\) sur \(]0,1[\].
2) Étudier le signe de \(f(x)\) sur \(\mathbb{R}\).
\begin{exercice}
Soit $f$ la fonction définie par :
\[
f(x)=x^3+x-1
\]
1) Montrer que l'équation $f(x)=0$
admet une solution unique $\alpha$ sur $]0,1[$.
2) Étudier le signe de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$.
\end{exercice}
On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
a. Dresser le tableau de variations de \(g\) sur \(\mathbb{R}\).
b. Montrer que l'équation \(g(x)=0\) admet une unique solution sur \(\mathbb{R}\), que l'on note \(\alpha\).
c. Déterminer un encadrement de \(\alpha\).
d. Déterminer le signe de \(g(x)\) sur \([1,+\infty[\).
\begin{exercice}
On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[
g(x)=x^3-6x^2+9x+1
\]
a. Dresser le tableau de variations de $g$ sur $\mathbb{R}$.
b. Montrer que l'équation $g(x)=0$
admet une unique solution sur $\mathbb{R}$,
que l'on note $\alpha$.
c. Déterminer un encadrement de $\alpha$.
d. Déterminer le signe de $g(x)$ sur $[1,+\infty[$.
\end{exercice}
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
1. Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
2. Montrer que l'équation \(f(x)=0\) admet trois solutions distinctes dans \(\mathbb{R}\).
\begin{exercice}
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[
f(x)=x^3+x^2-4x+1
\]
1. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
2. Montrer que l'équation $f(x)=0$
admet trois solutions distinctes dans $\mathbb{R}$.
\end{exercice}
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
1)- Montrer que \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
2)- Montrer que l'équation \(f(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\) dans \(]-\frac12;0[\).
3)- Calculer \(f\left(-\frac14\right)\), puis en déduire un encadrement de \(\alpha\) d'amplitude \(0,25\).
\begin{exercice}
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[
f(x)=x^3-x^2+3x+1
\]
1)- Montrer que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
2)- Montrer que l'équation $f(x)=0$
admet une solution unique $\alpha$ dans
$]-\frac12;0[$.
3)- Calculer $f\left(-\frac14\right)$,
puis en déduire un encadrement de $\alpha$
d'amplitude $0,25$.
\end{exercice}
On considère la fonction \(f\) définie par :
(1)- Étudier les variations de la fonction \(f\).
(2)- Montrer que la courbe représentative de la fonction \(f\) coupe l'axe des abscisses en un seul point dont l'abscisse \(\alpha\) vérifie :
(3)- En utilisant la méthode de dichotomie, donner un encadrement de \(\alpha\) d'amplitude \(25\times10^{-2}\).
\begin{exercice}
On considère la fonction $f$ définie par :
\[
f(x)=x^3+2x-4
\]
(1)- Étudier les variations de la fonction $f$.
(2)- Montrer que la courbe représentative de la fonction $f$
coupe l'axe des abscisses en un seul point dont l'abscisse
$\alpha$ tel que :
\[
1<\alpha<2
\]
(3)- En utilisant la méthode de dichotomie,
donner un encadrement de $\alpha$
d'amplitude $25\times10^{-2}$.
\end{exercice}
Définition :
Soit \(f\) une fonction réelle définie sur un intervalle \(I\subset\mathbb{R}\).
Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \(I\), alors \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur l'intervalle \(J=f(I)\).
De plus, pour tout \(x\in I\) et tout \(y\in J\) :
Soit \(f\) la fonction définie sur \(I=\left[\frac12,+\infty\right[\) par :
1) Montrer que la fonction \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) qu'il faut déterminer.
2) Déterminer \(f^{-1}(x)\) pour tout \(x\) de l'intervalle \(J\).
\begin{exercice}
Soit $f$ la fonction définie sur
\[
I=\left[\frac{1}{2};+\infty\right[
\]
par :
\[
f(x)=\sqrt{2x-1}
\]
1) Montrer que la fonction $f$ admet une fonction réciproque
$f^{-1}$ définie sur un $J$ qu'il faut déterminer.
2) Déterminer $f^{-1}(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle $J$.
\end{exercice}
Soit \(f\) la fonction définie par :
1) Montrer que la fonction \(g\), restriction de \(f\) sur l'intervalle \(I=]-2,+\infty[\), admet une fonction réciproque \(g^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) qu'il faut déterminer.
2) Déterminer \(g^{-1}(x)\) pour tout \(x\) de l'intervalle \(J\).
\begin{exercice}
Soit $f$ la fonction définie par :
\[
f(x)=\frac{x-3}{x+2}
\]
1) Montrer que la fonction $g$, restriction de $f$ sur
l'intervalle $I=]-2;+\infty[$, admet une fonction réciproque
$g^{-1}$ définie sur un $J$ qu'il faut déterminer.
2) Déterminer $g^{-1}(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle $J$.
\end{exercice}
Soit la fonction \(f(x)=x^2+x+1\) définie sur \(\mathbb{R}\).
1- Déterminer \(J=f([0,1])\).
2- Montrer que \(f\) admet une fonction réciproque de \(J\) vers \([0,1]\).
3- Déterminer \(f^{-1}(x)\), \(\forall x\in J\).
\begin{exercice}
Soit la fonction $f(x)=x^2+x+1$ définie sur $\mathbb{R}$.
1- Déterminer $J=f([0,1])$.
2- Montrer que $f$ admet une fonction réciproque
de $J$ vers $[0,1]$.
3- Déterminer $f^{-1}(x)$, \forall x\in J$.
\end{exercice}
Soit la fonction :
1- Montrer que \(f\) est une bijection de \(]-1,1[\) vers un intervalle \(J\) qu'il faut déterminer.
2- Déterminer \(f^{-1}(x)\), \(\forall x\in J\).
\begin{exercice}
Soit la fonction
\[
f(x)=\frac{x}{1-x^2}
\]
1- Montrer que $f$ est une bijection de $]-1,1[$
vers un intervalle $J$ qu'il faut déterminer.
2- Déterminer $f^{-1}(x)$, \forall x\in J$.
\end{exercice}
Soit la fonction \(g(x)=x-2\sqrt{x}\) définie sur \(\mathbb{R}^{+}\).
1- Montrer que \(g\) est strictement croissante sur \([1,+\infty[\), puis déterminer \(J=g([1,+\infty[)\).
2- Montrer que \(g\) admet une fonction réciproque de \(J\) vers \([1,+\infty[\).
3- Déterminer \(g^{-1}(x)\), \(\forall x\in J\).
\begin{exercice}
Soit la fonction $g(x)=x-2\sqrt{x}$ définie sur $\mathbb{R}^{+}$.
1- Montrer que $g$ est strictement croissante sur
$[1,+\infty[$ puis déterminer $J=g([1,+\infty[)$.
2- Montrer que $g$ admet une fonction réciproque
de $J$ vers $[1,+\infty[$.
3- Déterminer $g^{-1}(x)$, \forall x\in J$.
\end{exercice}
Soit \(f\) la fonction définie sur \(I=[-1,0[\) par :
1)- Montrer que :
puis en déduire que \(f\) est strictement décroissante sur \(I\).
2)- a)- Montrer que \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) que l'on déterminera.
b)- Calculer \(f^{-1}(x)\) pour tout \(x\in J\).
\begin{exercice}
Soit $f$ la fonction définie sur
$I=\left[-1;0\right[$ par :
\[
f(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x}
\]
1)- Montrer que :
\[
(\forall x\in]-1;0[),\quad
f'(x)=-\frac{x+2}{2x^2\sqrt{x+1}}
\]
puis en déduire que $f$ est strictement décroissante sur $I$.
2)- a)- Montrer que $f$ admet une fonction réciproque
$f^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ que l'on déterminera.
b)- Calculer $f^{-1}(x)$ pour tout $x\in J$.
\end{exercice}
Définition :
✓ Le nombre \(\sqrt[n]{x}\) est appelé racine \(n^{\text{ième}}\) du nombre \(x\).
✓ Pour tout nombre réel positif \(x\), on a :
✓ On a :
✓ La fonction \(x\longmapsto\sqrt[3]{x}\) est appelée fonction racine cubique.
✓ Pour tout \(x\geq0\) :
✓ On a également :
✓ La fonction \(x\longmapsto\sqrt[n]{x}\) est continue et strictement croissante sur l'intervalle \([0,+\infty[\).
Ainsi, pour tous \(x\geq0\) et \(y\geq0\) :
1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes :
1) Classer suivant l'ordre croissant les nombres suivants :
2) Simplifier le nombre :
\textbf{Exercice 14}
1) Classer suivant l'ordre croissant les nombres suivants :
\[
\sqrt[3]{2}
\qquad
\sqrt[4]{\sqrt[3]{7}}
\qquad
\sqrt[6]{5}
\]
2) Simplifier le nombre :
\[
A=
\frac{
\sqrt[15]{3^5}\times\sqrt[3]{9}\times\left(\sqrt[5]{9}\right)^3
}{
\sqrt[5]{3}
}
\]
Simplifier les nombres suivants :
\textbf{Exercice 15}
Simplifier les nombres suivants :
\[
A=
\frac{\sqrt[5]{2}\times\sqrt{8}}
{\sqrt{\sqrt[5]{128}}}
\]
\[
B=\frac{1}{\sqrt[3]{3}+1}
\]
\[
C=
\frac{
\sqrt[3]{4}\sqrt{8}\left(\sqrt{\sqrt{2}}\right)^2
}{
\sqrt{\sqrt[3]{4}}
}
\]
\[
D=
\frac{1}{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{3}}
\]
Calculer les limites suivantes :
\textbf{Exercice 16}
Calculer les limites suivantes :
1)
\[
\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+2}-x\right)
\]
2)
\[
\lim_{x\to8}
\frac{\sqrt[3]{x}-2}{x-8}
\]
3)
\[
\lim_{x\to1}
\frac{\sqrt[3]{2x+6}-\sqrt{x+3}}{x-1}
\]
4)
\[
\lim_{x\to+\infty}
\left(\sqrt{x^2+3}-2x+4\right)
\]
5)
\[
\lim_{x\to+\infty}
\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt[3]{x^2-2}}
\]
6)
\[
\lim_{\substack{x\to1\\x>1}}
\frac{\sqrt[4]{x^2-1}}{\sqrt{x-1}}
\]