Définition :
Étudier la continuité de \(f\) en \(x_0\).
\begin{exercice}
Étudier la continuité de $f$ en $x_0$.
1)
\[
f(x)=
\begin{cases}
\dfrac{x^3-2x^2-x+2}{x^2-4} & \text{si }x\neq2\\
\dfrac34 & \text{si }x=2
\end{cases}
\qquad x_0=2
\]
2)
\[
f(x)=
\begin{cases}
\dfrac{\sqrt{2x+2}-1}{4x^2-1} & \text{si }x\neq-\dfrac12\\
-\dfrac14 & \text{si }x=-\dfrac12
\end{cases}
\qquad x_0=-\dfrac12
\]
3)
\[
f(x)=
\begin{cases}
\dfrac{\sqrt{x^2+1}-\sqrt2}{x^2+3x+2} & \text{si }x\neq-1\\
-\dfrac{\sqrt2}{2} & \text{si }x=-1
\end{cases}
\qquad x_0=-1
\]
4)
\[
f(x)=
\begin{cases}
\dfrac{5\sqrt{x+5}-\sqrt{2x+11}-7}{x^2+3x+2} & \text{si }x\neq-1\\
\dfrac{11}{12} & \text{si }x=-1
\end{cases}
\qquad x_0=-1
\]
\end{exercice}
On dit que \(f\) est continue à droite en \(x_0\) si :
On dit que \(f\) est continue à gauche en \(x_0\) si :
Soit \(f\) définie sur \([-2,+\infty[\) par :
Étudier la continuité de \(f\) à gauche et à droite en \(2\).
\begin{exercice}
Soit $f$ définie sur $[-2,+\infty[$ par :
\[
f(x)=
\begin{cases}
\dfrac{\sqrt{x+2}-2}{|x-2|} & \text{si }x\neq2\\
\dfrac14 & \text{si }x=2
\end{cases}
\]
Étudier la continuité de $f$ à gauche et à droite en $2$.
\end{exercice}
\(f\) est continue au point \(x_0\) si, et seulement si, elle est continue à droite et à gauche au point \(x_0\).
Soit \(f\) la fonction définie par :
1. Étudier la continuité de \(f\) au point \(x_0=2\).
\begin{exercice}
Soit $f$ la fonction définie par :
\[
f(x)=
\begin{cases}
\dfrac{5x^2-17x+14}{2x-4} & x<2\\
\dfrac{\sqrt{3x-5}-1}{x-2} & x>2\\
\dfrac32 & x=2
\end{cases}
\]
1. Étudier la continuité de $f$ au point $x_0=2$.
\end{exercice}
Définition :
Toute fonction polynôme est continue sur \(\mathbb{R}\).
Toute fonction rationnelle est continue sur chaque intervalle de son domaine de définition.
Les fonctions \(x\mapsto\sin x\) et \(x\mapsto\cos x\) sont continues sur \(\mathbb{R}\).
1) Si \(f\) et \(g\) sont deux fonctions continues sur \(I\), alors :
2) Si \(f\) et \(g\) sont deux fonctions continues sur \(I\) et \(g(x)\neq0\) sur \(I\), alors :
3) Si \(f\) est une fonction continue sur \(I\) et \(f\geq0\) sur \(I\), alors :
Montrer que \(f\) est continue sur \(I\).
1. \(f(x)=2\cos x-x^3+3x^2+1,\quad I=\mathbb{R}\)
2. \(f(x)=\dfrac{2}{x-1}+\sqrt{x-1}, \quad I=]1,+\infty[\)
3. \(f(x)=3\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right), \quad I=\mathbb{R}\)
4. \(f(x)=\sqrt{x-x^2}, \quad I=[0,1]\)
\begin{exercice}
Montrer que $f$ est continue sur $I$.
1) $f(x)=2\cos x-x^3+3x^2+1,\quad I=\mathbb{R}$
2) $f(x)=\frac{2}{x-1}+\sqrt{x-1},
\quad I=]1,+\infty[$
3) $f(x)=3\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right),
\quad I=\mathbb{R}$
4) $f(x)=\sqrt{x-x^2},
\quad I=[0,1]$
\end{exercice}
Soit \(f\) définie par :
1. Déterminer \(D_f\).
2. Montrer que \(f\) est continue en \(0\).
3. Prouver que \(f\) est continue sur \(D_f\).
\begin{exercice}
Soit $f$ définie par :
\[
f(x)=
\begin{cases}
\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x} & \text{si }x\neq0\\
\dfrac14 & \text{si }x=0
\end{cases}
\]
1) Déterminer $D_f$.
2) Montrer que $f$ est continue en $0$.
3) Prouver que $f$ est continue sur $D_f$.
\end{exercice}
Soit \(h\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb{R}\) par :
1. Montrer que la fonction \(h\) est continue sur les intervalles :
2. Est-ce que \(h\) est continue sur \(\mathbb{R}\) ?
\begin{exercice}
Soit $h$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[
h(x)=
\begin{cases}
\dfrac{x^3+x-2}{x-1} & x\neq1\\
4 & x=1
\end{cases}
\]
1) Montrer que la fonction $h$ est continue sur les intervalles :
$]-\infty,1[$ et $]1,+\infty[$.
2) Est-ce que $h$ est continue sur $\mathbb{R}$ ?
\end{exercice}