Définition :
Soit \(f\) une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert \(I\) et \(x_0\) un élément de \(I\).
On dit que la fonction \(f\) est continue au point \(x_0\) si :
Définition :
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle de la forme \([x_0,x_0+\alpha[\), où \(\alpha\in\mathbb{R}_+^*\).
On dit que \(f\) est continue à droite en \(x_0\) si :
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle de la forme \(]x_0-\alpha,x_0]\), où \(\alpha\in\mathbb{R}_+^*\).
On dit que \(f\) est continue à gauche en \(x_0\) si :
Une fonction numérique \(f\) est continue au point \(x_0\) si, et seulement si, elle est continue à droite et à gauche au point \(x_0\).
En d'autres termes :
Théorème et définition :
Soit \(f\) une fonction dont l'ensemble de définition est \(D_f\), \(a\) un réel tel que \(a\notin D_f\) et \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=l\), avec \(l\) finie.
La fonction \(f\) définie par :
est une fonction continue en \(a\) et s'appelle un prolongement par continuité de la fonction \(f\) en \(a\).
Proposition — Continuité des fonctions usuelles :
• Toute fonction polynôme est continue sur \(\mathbb{R}\).
• Toute fonction rationnelle est continue sur chaque intervalle de son domaine de définition.
• \(x\mapsto\sqrt{x}\) est continue sur \([0,+\infty[\).
• \(x\mapsto\sin x\) et \(x\mapsto\cos x\) sont continues sur \(\mathbb{R}\).
• \(x\mapsto\tan x\) est continue sur chaque intervalle de son domaine de définition.
Soit \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\).
1) Si \(f\) et \(g\) sont deux fonctions continues sur \(I\), alors :
2) Si \(f\) et \(g\) sont deux fonctions continues sur \(I\) et \(g(x)\neq0\) sur \(I\), alors :
3) Si \(f\) est une fonction continue sur \(I\) et \(f\geq0\) sur \(I\), alors :
Corollaire 1 — T.V.I :
Soit \(f\) une fonction continue sur \([a,b]\).
Si \(f(a)\times f(b)\mathrel{\lt}0\), alors il existe au moins un \(c\in[a,b]\) tel que :
Corollaire 2 — T.V.I :
Soit \(f\) une fonction continue et strictement monotone sur \([a,b]\).
Si \(f(a)\times f(b)\mathrel{\lt}0\), alors il existe un seul élément \(c\in[a,b]\) tel que :
1) Calculer les limites suivantes :
\begin{exercice}
1) Calculer les limites suivantes :
\[
\lim_{x\to1}
\frac{2\sqrt[3]{x}+\sqrt{x}-3}
{\sqrt[3]{x}+2\sqrt{x}-3}
\]
\[
\lim_{x\to+\infty}
\frac{\sqrt[3]{x+2}-\sqrt[3]{x}}
{\sqrt{x+1}-\sqrt[6]{x}}\sqrt{x}
\]
\[
\lim_{x\to2}
\frac{4-\sqrt[3]{6+x}\sqrt{6-x}}
{\sqrt[3]{6+x}-\sqrt{6-x}}
\]
\[
\lim_{x\to4}
\frac{6-\sqrt{x+5}\sqrt[3]{x+4}}
{2\sqrt{x+5}-3\sqrt[3]{x+4}}
\]
\[
\lim_{x\to+\infty}
\frac{\sqrt[3]{2x+1}-\sqrt{x}+1}
{\sqrt[4]{x^2+2}-\sqrt[3]{x+1}}
\]
\[
\lim_{x\to1}
\frac{3\sqrt[3]{x}-\sqrt{x}-2}
{2\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}-3}
\]
\end{exercice}
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations :
\begin{exercice}
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations :
1) $(E): \sqrt[3]{3+x}-\sqrt[3]{3-x}
=\sqrt[6]{4x^2}$
2) $(E): 2x\sqrt{x}
-3x\sqrt[4]{\frac{1}{x}}=20$
3) $(E): \sqrt{x+1}-\sqrt[3]{x}=1$
\end{exercice}
Soit \(f\) une fonction continue en \(0\) et définie sur \(\mathbb{R}\) telle que :
Montrer que \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
\begin{exercice}
Soit $f$ une fonction continue en 0 et définie sur $\mathbb{R}$ telle que :
\[
\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2,\quad
f(x+y)=f(x)+f(y)
\]
Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
\end{exercice}
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) et continue en \(0\) vérifiant :
Montrer que \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
\begin{exercice}
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ et continue en 0 vérifiant :
\[
\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2,\qquad
f(x+y)=f(x)f(y)
\]
Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
\end{exercice}
Soit \(f\) une fonction continue sur \([a,b]\) telle que
\(f(a)>a\) et \(f(b)
Montrer que l'équation \(f(x)=x\) admet au moins une solution
dans \(]a,b[\).
\begin{exercice}
Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$ telle que
$f(a)>a$ et $f(b)
Soit \(f\) une fonction continue sur l'intervalle \([0,1]\) telle que :
Montrer que : \[ \exists c\in]0,1[,\qquad f(c)=\frac{1}{c}. \]
\begin{exercice}
Soit $f$ une fonction continue sur l'intervalle $[0,1]$
telle que :
\[
f([0,1])\subset]1,2[
\]
Montrer que :
\[
\exists c\in]0,1[,\quad f(c)=\frac1c.
\]
\end{exercice}
Soit \(f\) une fonction définie et continue sur \(\mathbb{R}\) telle que :
Montrer que : \[ \exists c\in\mathbb{R},\qquad f(c)=c. \]
\begin{exercice}
Soit $f$ une fonction définie et continue sur $\mathbb{R}$ telle que :
\[
\exists a\in\mathbb{R},\quad f\circ f(a)=a
\]
Montrer que :
\[
\exists c\in\mathbb{R},\quad f(c)=c.
\]
\end{exercice}
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\) telle que :
Montrer que \(f\) garde un signe constant.
\begin{exercice}
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ telle que :
\[
\forall x\in I,\quad f(x)\neq0
\]
Montrer que $f$ garde un signe constant.
\end{exercice}
Soit \(f\) une fonction continue sur l'intervalle \([-1,1]\).
Montrer que : \[ \exists c\in]-1,1[,\qquad f(c)=\frac{2c}{c^2-1}. \]
\begin{exercice}
Soit $f$ une fonction continue sur l'intervalle $[-1,1]$.
Montrer que :
\[
\exists c\in]-1,1[,\quad
f(c)=\frac{2c}{c^2-1}.
\]
\end{exercice}
Soit \(f\) une fonction continue sur l'intervalle \(\left[\dfrac1a,a\right]\) telle que \(a>1\).
Montrer que : \[ \exists c\in\left[\frac1a,a\right], \qquad f(c)=c\,f\left(\frac1c\right). \]
\begin{exercice}
Soit $f$ une fonction continue sur l'intervalle
$\left[\frac1a,a\right]$ telle que $a>1$.
Montrer que :
\[
\exists c\in\left[\frac1a,a\right],
\quad
f(c)=c f\left(\frac1c\right).
\]
\end{exercice}
Soit \(f\) une fonction continue sur l'intervalle \([a,b]\) et vérifier :
Montrer que : \[ \exists c\in]a,b[,\qquad f(c)=\frac{a-c}{b-c}. \]
\begin{exercice}
Soit $f$ une fonction continue sur l'intervalle $[a,b]$ et vérifier :
\[
f(a)<0
\]
Montrer que :
\[
\exists c\in]a,b[,\quad
f(c)=\frac{a-c}{b-c}.
\]
\end{exercice}
Soit \(f\) une fonction continue sur \([0,1]\) telle que :
Montrer qu'il existe \(c\in]0,1[\) tel que : \[ f(c)=\frac{1-c}{1+c}. \]
\begin{exercice}
Soit $f$ une fonction continue sur $[0,1]$ telle que :
\[
f(0)=f(1)=\frac12
\]
Montrer qu'il existe $c\in]0,1[$ tel que :
\[
f(c)=\frac{1-c}{1+c}.
\]
\end{exercice}
Soit \(f\) une fonction continue sur \([a,b]\) et \(p\) et \(q\) deux réels strictement positifs.
Montrer qu'il existe un réel \(c\in[a,b]\) tel que :
\begin{exercice}
Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$
et $p$ et $q$ deux réels strictement positifs.
Montrer qu'il existe un réel $c\in[a,b]$ tel que :
\[
p f(a)+q f(b)=(p+q)f(c)
\]
\end{exercice}
Soit \(f\) une fonction continue sur \([a,b]\) telle que :
Montrer que l'équation \[ f(x)=f\left(x+\frac{b-a}{2}\right) \] admet au moins une solution dans \([a,b]\).
\begin{exercice}
Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$ telle que :
\[
f(a)=f(b)
\]
Montrer que l'équation
\[
f(x)=f\left(x+\frac{b-a}{2}\right)
\]
admet au moins une solution dans $[a,b]$.
\end{exercice}