Calculer les intégrales suivantes :
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\textbf{Exercice 1 : Calculer les intégrales suivantes.}
\[
\begin{aligned}
I_1&=\int_0^2(-2x^2+4x)\,dx
&
I_2&=\int_1^0(x+e^x)\,dx
\\
a&=\int_1^2(x^2+2x+3)\,dx
&
b&=\int_0^1(x^5-6x)\,dx
\\
I_3&=\int_0^1\left(\frac14x^3+2x-5\right)\,dx
&
I_4&=\int_1^2\frac{x}{(x^2-4)^2}\,dx
\\
I_5&=\int_0^1t(t^2+1)^3\,dt
\end{aligned}
\]
Calculer les intégrales suivantes par la méthode d'intégration par parties :
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\textbf{Exercice 2}
Calculer les intégrales suivantes par intégration par parties :
\[
\begin{aligned}
I_1&=\int_0^1xe^x\,dx
&
I_2&=\int_1^e x\ln x\,dx
\\
I_3&=\int_1^x\ln t\,dt
&
I_4&=\int_1^e\frac{\ln x}{x^2}\,dx
\\
I_5&=\int_1^e x^2\ln x\,dx
&
I_6&=\int_0^1xe^{2x}\,dx
\\
I_7&=\int_1^{e^2}(x^3+1)\ln x\,dx
\end{aligned}
\]
Soit \(f\) la fonction définie par :
et soit \((C_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O;\vec i;\vec j)\).
1) Calculer les intégrales :
2) Calculer l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe \((C_f)\), l'axe des abscisses et les droites \(x=1\) et \(x=e\).
3) Montrer que :
est une fonction primitive de :
4) Soit \(t\in]0,1[\).
a) Calculer :
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\textbf{Exercice 3}
Soit $f$ définie par :
\[
f(x)=\frac1x+\ln x
\]
1)
\[
I=\int_1^e\frac{dx}{x},
\qquad
J=\int_1^e\ln x\,dx
\]
2) Calculer l'aire délimitée par $(C_f)$,
l'axe des abscisses et $x=1$, $x=e$.
3) Montrer que :
\[
G(x)=x[(\ln x)^2-2\ln x+2]
\]
est une primitive de :
\[
g(x)=(\ln x)^2.
\]
4) Soit $t\in]0,1[$.
\[
A=\int_t^1\frac{\ln x}{x}\,dx
\]
\[
B=\int_t^1(\ln x)^2\,dx
\]
On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \(]0,+\infty[\) par :
et soit \((C_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\).
1) On considère les deux intégrales :
2.a) Montrer que \(H:x\mapsto x\ln x\) est une primitive de \(h:x\mapsto1+\ln x\) sur \(]0,+\infty[\), puis en déduire que :
b) À l'aide d'une intégration par parties, montrer que :
c) Calculer en \(\mathrm{cm}^2\) l'aire du domaine plan limité par \((C_f)\), l'axe des abscisses et les droites \(x=1\) et \(x=e\).
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\textbf{Examen 2014}
\[
f(x)=(1+\ln x)^2+\frac1{x^2}
\]
\[
I=\int_1^e(1+\ln x)\,dx
\]
\[
J=\int_1^e(1+\ln x)^2\,dx
\]
Montrer que :
\[
H(x)=x\ln x
\]
est une primitive de :
\[
h(x)=1+\ln x
\]
En déduire :
\[
I=e
\]
À l'aide d'une intégration par parties :
\[
J=2e-1
\]
Calculer l'aire du domaine plan.
On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \(]0,+\infty[\) par :
et soit \((C_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\), unité de \(2\,\mathrm{cm}\).
1.a) Montrer que :
b) À l'aide d'une intégration par parties, montrer que :
c) Calculer en \(\mathrm{cm}^2\) l'aire du domaine plan limité par \((C_f)\), l'axe des abscisses et les droites \(x=1\) et \(x=2\).
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\textbf{Examen 2016 Rattrapage}
\[
f(x)=3-3x+2(x+1)\ln x
\]
1.a)
\[
\int_1^2\left(1+\frac{x}{2}\right)dx=\frac74
\]
b)
\[
\int_1^2(x+1)\ln x\,dx
=
4\ln2-\frac74
\]
c) Calculer l'aire en $\mathrm{cm}^2$.
On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par :
et soit \((C_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé, unité de \(2\,\mathrm{cm}\).
1.a) Vérifier que :
est une fonction primitive de :
sur \(\mathbb R\), puis montrer que :
b) À l'aide d'une intégration par parties, montrer que :
c) Calculer en \(\mathrm{cm}^2\) l'aire du domaine plan limité par \((C_f)\), l'axe des ordonnées, la droite \(y=x+1\), et les droites \(x=-1\) et \(x=0\).
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\textbf{Examen 2017 Rattrapage}
\[
f(x)=x+1-(x^2+1)e^x
\]
\[
H(x)=(x-1)e^x
\]
primitive de :
\[
h(x)=xe^x
\]
\[
\int_{-1}^0xe^x\,dx=\frac2e-1
\]
\[
\int_{-1}^0(x^2+1)e^x\,dx
=
3\left(1-\frac2e\right)
\]
Calculer l'aire du domaine plan.
On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par :
a) Vérifier que :
est une fonction primitive de :
sur \(\mathbb R\), puis en déduire que :
b) À l'aide d'une intégration par parties, montrer que :
Calculer en \(\mathrm{cm}^2\) l'aire du domaine plan limité par la courbe \((C_f)\), la droite \(y=x\) et les droites \(x=0\) et \(x=1\).
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\textbf{Examen 2018}
\[
f(x)=(x^2-x)e^{-x}+x
\]
\[
H(x)=(x^2+2x+2)e^{-x}
\]
primitive de :
\[
h(x)=-x^2e^{-x}
\]
\[
\int_0^1x^2e^{-x}\,dx
=
\frac{2e-5}{e}
\]
\[
\int_0^1xe^{-x}\,dx
=
\frac{e-2}{e}
\]
Calculer l'aire entre $(C_f)$ et $y=x$.
1.a) Montrer que :
est une primitive de :
sur \(\mathbb R\).
b) En déduire que :
2) En utilisant une intégration par parties, calculer :
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\textbf{Examen 2018 Rattrapage}
1.a) Montrer que :
\[
H(x)=xe^x
\]
est une primitive de :
\[
h(x)=(x+1)e^x
\]
b)
\[
\int_0^1(x+1)e^x\,dx=e
\]
2)
\[
\int_0^1(x^2+2x-1)e^x\,dx
\]
On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \(]0,+\infty[\) par :
et \((C_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé, unité de \(1\,\mathrm{cm}\).
1.a) Vérifier que :
est une fonction primitive de \(h(x)=\ln x\) sur \(]0,+\infty[\).
b) À l'aide d'une intégration par parties, montrer que :
c) Calculer en \(\mathrm{cm}^2\) l'aire du domaine plan limité par la courbe \((C_f)\), la droite \(\Delta:y=x\) et les droites \(x=1\) et \(x=e\).
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\textbf{Examen 2019}
\[
f(x)=x+\frac12-\ln x+\frac12(\ln x)^2
\]
\[
H(x)=x\ln x-x
\]
primitive de :
\[
h(x)=\ln x
\]
\[
\int_1^e(\ln x)^2\,dx=e-2
\]
Calculer l'aire limitée par $(C_f)$,
$y=x$, $x=1$ et $x=e$.