Les ensembles de nombres ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ et ℝ
Cours et exercices corrigés – Tronc Commun
📚 1. Les ensembles de nombres
En mathématiques, on regroupe les nombres dans différents ensembles.
Les principaux ensembles étudiés au Tronc Commun sont :
\[
\mathbb{N},\quad
\mathbb{Z},\quad
\mathbb{D},\quad
\mathbb{Q},\quad
\mathbb{R}
\]
ℕ — L'ensemble des entiers naturels
L'ensemble des entiers naturels est :
\[
\mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,\ldots\}
\]
Exemples :
\[
0,\quad 3,\quad 15,\quad 100\in\mathbb{N}
\]
ℤ — L'ensemble des entiers relatifs
L'ensemble des entiers relatifs contient les entiers naturels
ainsi que leurs opposés :
\[
\mathbb{Z}=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}
\]
Exemples :
\[
-7,\quad -2,\quad 0,\quad 8\in\mathbb{Z}
\]
𝔻 — L'ensemble des nombres décimaux
Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire sous la forme :
\[
\frac{a}{10^n}
\qquad
\text{avec }a\in\mathbb{Z},\ n\in\mathbb{N}.
\]
Exemples :
\[
2,5=\frac{25}{10}
\]
\[
-3,14=\frac{-314}{100}
\]
ℚ — L'ensemble des nombres rationnels
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme :
\[
\frac{a}{b}
\qquad
\text{avec }a\in\mathbb{Z}
\text{ et }b\in\mathbb{Z}^{*}.
\]
Exemples :
\[
\frac{2}{3},\quad
-\frac{7}{5},\quad
4=\frac41
\in\mathbb{Q}
\]
ℝ — L'ensemble des nombres réels
L'ensemble des nombres réels contient tous les nombres qui peuvent
être représentés sur une droite graduée.
Il contient notamment les nombres rationnels et les nombres
irrationnels comme :
\[
\sqrt2,\quad \pi
\]
📌 2. Inclusion des ensembles
Les ensembles précédents sont emboîtés les uns dans les autres :
\[
\boxed{
\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}
\subset\mathbb{D}
\subset\mathbb{Q}
\subset\mathbb{R}
}
\]
Ainsi, tout entier naturel est un entier relatif,
tout entier relatif est un nombre décimal, etc.
Exercice 1 : Appartenance à un ensemble
Indiquer le plus petit ensemble parmi
\(\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{D},\mathbb{Q},\mathbb{R}\)
auquel appartient chacun des nombres suivants :
\[
5,\quad -3,\quad 2,5,\quad
\frac{7}{3},\quad
\sqrt2,\quad
\pi
\]
📖 Corrigé
\[
5\in\mathbb{N}
\]
\[
-3\in\mathbb{Z}
\quad\text{et}\quad
-3\notin\mathbb{N}
\]
\[
2,5\in\mathbb{D}
\]
\[
\frac73\in\mathbb{Q}
\quad\text{mais}\quad
\frac73\notin\mathbb{D}
\]
\[
\sqrt2\in\mathbb{R}
\quad\text{et}\quad
\sqrt2\notin\mathbb{Q}
\]
\[
\pi\in\mathbb{R}
\quad\text{et}\quad
\pi\notin\mathbb{Q}
\]
Donc les plus petits ensembles sont :
\[
\boxed{
5\in\mathbb N,\;
-3\in\mathbb Z,\;
2,5\in\mathbb D,\;
\frac73\in\mathbb Q,\;
\sqrt2,\pi\in\mathbb R
}
\]
5,\quad -3,\quad 2,5,\quad
\frac{7}{3},\quad
\sqrt2,\quad
\pi
Exercice 2 : Déterminer le plus petit ensemble
Déterminer le plus petit ensemble auquel appartient chacun des
nombres suivants :
\[
A=-8
\]
\[
B=\frac{12}{4}
\]
\[
C=\frac{5}{2}
\]
\[
D=\frac{2}{3}
\]
\[
E=\sqrt5
\]
📖 Corrigé
A.
\[
-8\in\mathbb Z
\]
B.
\[
\frac{12}{4}=3
\]
\[
3\in\mathbb N
\]
C.
\[
\frac52=2,5
\]
\[
2,5\in\mathbb D
\]
D.
\[
\frac23\in\mathbb Q
\]
et
\[
\frac23\notin\mathbb D.
\]
E.
\[
\sqrt5\in\mathbb R
\]
mais
\[
\sqrt5\notin\mathbb Q.
\]
A=-8
B=\frac{12}{4}
C=\frac{5}{2}
D=\frac{2}{3}
E=\sqrt5
Exercice 3 : Vrai ou faux
Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
Justifier la réponse.
1. Tout nombre naturel est un entier relatif.
2. Tout nombre décimal est un nombre rationnel.
3. Tout nombre rationnel est un nombre décimal.
4. \(\sqrt2\) est un nombre rationnel.
5. \(\pi\) est un nombre réel.
📖 Corrigé
1. Vrai, car :
\[
\mathbb N\subset\mathbb Z
\]
2. Vrai, car tout nombre décimal peut s'écrire
sous la forme \(\frac{a}{10^n}\).
\[
\mathbb D\subset\mathbb Q
\]
3. Faux.
Par exemple :
\[
\frac13=0,3333\ldots
\]
Ce n'est pas un nombre décimal.
4. Faux.
\(\sqrt2\) est irrationnel.
5. Vrai :
\[
\pi\in\mathbb R
\]
\mathbb N\subset\mathbb Z
\subset\mathbb D
\subset\mathbb Q
\subset\mathbb R
Exercice 4 : Compléter avec le symbole convenable
Compléter par \( \in \), \( \notin \), \( \subset \) ou \( \not\subset \).
\[
4\;...\;\mathbb N
\]
\[
-5\;...\;\mathbb N
\]
\[
-5\;...\;\mathbb Z
\]
\[
0,25\;...\;\mathbb D
\]
\[
\frac13\;...\;\mathbb D
\]
\[
\mathbb Z\;...\;\mathbb Q
\]
\[
\mathbb Q\;...\;\mathbb R
\]
📖 Corrigé
\[
\boxed{4\in\mathbb N}
\]
\[
\boxed{-5\notin\mathbb N}
\]
\[
\boxed{-5\in\mathbb Z}
\]
\[
\boxed{0,25\in\mathbb D}
\]
\[
\boxed{\frac13\notin\mathbb D}
\]
\[
\boxed{\mathbb Z\subset\mathbb Q}
\]
\[
\boxed{\mathbb Q\subset\mathbb R}
\]
4\in\mathbb N
-5\notin\mathbb N
-5\in\mathbb Z
0,25\in\mathbb D
\frac13\notin\mathbb D
\mathbb Z\subset\mathbb Q
\mathbb Q\subset\mathbb R
Les ensembles de nombres ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ et ℝ
On considère les principaux ensembles de nombres :
\[
\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}
\subset\mathbb{D}
\subset\mathbb{Q}
\subset\mathbb{R}
\]
avec :
\[
\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\ldots\}
\]
\[
\mathbb{Z}=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}
\]
L'ensemble \(\mathbb{D}\) contient les nombres décimaux,
\(\mathbb{Q}\) les nombres rationnels et \(\mathbb{R}\)
l'ensemble des nombres réels.
Exercice 4 : Appartenance aux ensembles de nombres
Déterminer le plus petit ensemble parmi
\(\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{D},\mathbb{Q},\mathbb{R}\)
auquel appartient chacun des nombres suivants :
\[
7,\quad -4,\quad 2,5,\quad
\frac{7}{3},\quad
\sqrt{2},\quad
\pi
\]
📖 Corrigé
1.
\[
7\in\mathbb{N}
\]
2.
\[
-4\in\mathbb{Z}
\]
3.
\[
2,5\in\mathbb{D}
\]
4.
\[
\frac{7}{3}\in\mathbb{Q}
\quad\text{et}\quad
\frac{7}{3}\notin\mathbb{D}
\]
5.
\[
\sqrt2\in\mathbb{R}
\quad\text{et}\quad
\sqrt2\notin\mathbb{Q}
\]
6.
\[
\pi\in\mathbb{R}
\quad\text{et}\quad
\pi\notin\mathbb{Q}
\]
7,\quad -4,\quad 2,5,\quad
\frac{7}{3},\quad
\sqrt{2},\quad
\pi
Exercice 5 : Déterminer le plus petit ensemble
Déterminer le plus petit ensemble auquel appartient chacun
des nombres suivants :
\[
A=-8
\]
\[
B=\frac{12}{4}
\]
\[
C=\frac{5}{2}
\]
\[
D=\frac{2}{3}
\]
\[
E=\sqrt5
\]
📖 Corrigé
A.
\[
\boxed{-8\in\mathbb{Z}}
\]
B.
\[
\frac{12}{4}=3
\]
\[
\boxed{3\in\mathbb{N}}
\]
C.
\[
\frac52=2,5
\]
\[
\boxed{2,5\in\mathbb{D}}
\]
D.
\[
\boxed{\frac23\in\mathbb{Q}}
\]
Mais :
\[
\frac23\notin\mathbb{D}
\]
E.
\[
\boxed{\sqrt5\in\mathbb{R}}
\]
et \(\sqrt5\notin\mathbb{Q}\).
A=-8
B=\frac{12}{4}
C=\frac{5}{2}
D=\frac{2}{3}
E=\sqrt5
Exercice 6 : Vrai ou faux
Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
Justifier.
1. Tout nombre naturel est un entier relatif.
2. Tout nombre décimal est un nombre rationnel.
3. Tout nombre rationnel est un nombre décimal.
4. \(\sqrt2\) est un nombre rationnel.
5. \(\pi\) est un nombre réel.
📖 Corrigé
1. Vrai :
\[
\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}
\]
2. Vrai :
\[
\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}
\]
3. Faux.
Par exemple :
\[
\frac13=0,3333\ldots
\]
Ce nombre est rationnel mais n'est pas décimal.
4. Faux.
\[
\sqrt2\notin\mathbb{Q}
\]
\(\sqrt2\) est un nombre irrationnel.
5. Vrai :
\[
\pi\in\mathbb{R}
\]
\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}
\subset\mathbb{D}
\subset\mathbb{Q}
\subset\mathbb{R}
Exercice 7 : Compléter avec le symbole convenable
Compléter par \( \in \), \( \notin \), \( \subset \) ou
\( \not\subset \).
\[
4\;...\;\mathbb{N}
\]
\[
-5\;...\;\mathbb{N}
\]
\[
-5\;...\;\mathbb{Z}
\]
\[
0,25\;...\;\mathbb{D}
\]
\[
\frac13\;...\;\mathbb{D}
\]
\[
\mathbb{Z}\;...\;\mathbb{Q}
\]
\[
\mathbb{Q}\;...\;\mathbb{R}
\]
📖 Corrigé
\[
\boxed{4\in\mathbb{N}}
\]
\[
\boxed{-5\notin\mathbb{N}}
\]
\[
\boxed{-5\in\mathbb{Z}}
\]
\[
\boxed{0,25\in\mathbb{D}}
\]
\[
\boxed{\frac13\notin\mathbb{D}}
\]
\[
\boxed{\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}}
\]
\[
\boxed{\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}}
\]
4\in\mathbb{N}
-5\notin\mathbb{N}
-5\in\mathbb{Z}
0,25\in\mathbb{D}
\frac13\notin\mathbb{D}
\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}
\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}
